CAP´ITULO 8 INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD

8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALESTeorema 8.7 ( Estabilidad para sistemas no lineales) .Sea (0, 0) un punto crítico simple del sistema no lineal (8.40) y consideremosel sistema lineal asociado .1. Si el punto crítico (0, 0) del sistema lineal asociado es asintóticamenteestable, entonces el punto crítico (0, 0) de (8.40) también es asintóticamenteestable.2. Si el punto crítico (0, 0) del sistema lineal asociado es inestable, entoncesel punto crítico (0, 0) del sistema no lineal (8.40) es inestable.3. Si el punto crítico (0, 0) del sistema lineal asociado es estable, pero noasintóticamente estable, entonces el punto crítico (0, 0) del sistema nolineal (8.40) puede ser estable, asintóticamente estable o inestable .Demostración: consideremos el sistema no linealy su sistema lineal asociadodxdt = a 1x + b 1 y + f(x, y)dydt = a 2x + b 2 y + g(x, y)dxdt = a 1x + b 1 ydydt = a 2x + b 2 yUniversidad de Antioquia, Depto. de Matematicas(8.47)(8.48)de acuerdo al Teorema 8.4 se debe construir una función de Liapunov adecuada.Por el Teorema (8.3) los coeficientes del sistema lineal asociado satisfacen lascondiciones:p = −(a 1 + b 2 ) > 0Seaq = a 1 b 2 − a 2 b 1 > 0E(x, y) = 1 2 (ax2 + 2bxy + cy 2 ),dondea = a2 2 + b 2 2 + (a 1 b 2 − a 2 b 1 )D323