CAP´ITULO 8 INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD

8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALESlím(x,y)→(0,0)g(x, y)√x2 + y 2 = 0 (8.43)Esta dos últimas condiciones implican, debido a la continuidad de f y g,que f(0, 0) = 0 y g(0, 0) = 0, es decir, (0, 0) es punto crítico de (8.40) . Sepuede demostrar que este punto es aislado. Con las restricciones indicadas(0, 0) se le llama punto crítico simple de (8.40).Cuando se cumplen (8.41), (8.42), (8.43), entonces decimos que el sistema(8.40) es un sistema casi lineal (o cuasi-lineal).Ejemplo 6. Comprobar que se cumple (8.41), (8.42) y (8.43) para elsiguiente sistemaSolución:dxdt= −2x + 3y + xy;dydt[ ] [a1 b 1 −2 3=a 2 b 2 −1 1También, usando coordenadas polares:yCuando (x, y) → (0, 0) entonces= −x + y − 2xy2]= 1 ≠ 0|f(x, y)|√x2 + y 2 = |r2 sen θ cos θ|r|g(x, y)|√x2 + y = |2r3 sen 2 θ cos θ|2 rf(x, y)límr→0 r≤ r≤ 2r 2g(x, y)= 0, lím = 0r→0 rLuego (0, 0) es un punto crítico simple del sistema.Teorema 8.6 (Tipo de punto crítico para sistemas no lineales) .Sea (0, 0) un punto crítico simple del sistema no lineal (8.40) y consideremosel sistema lineal asociado . Si el punto crítico (0, 0) del sistema linealasociado pertenece a alguno de los tres casos principales del teorema (8.1),sección (8.3) , entonces el punto crítico (0, 0) de (8.40) es del mismo tipo.Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas319