CAP´ITULO 8 INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD

8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALESyl2B10AD0 1 2 3Figura 8.23[ ] −1 −24. Para el punto D(1, 1), J =y sus valores propios son λ−1 −11,2 =−1 ± √ 2, luego D(1, 1) es un [ punto de ] silla y como p = −(a 1 + b 2 ) =−1 −2−(−1 − 1) = 2 y det A == −1 < 0 entonces D(1, 1) es−1 −1inestable.El retrato de fase mostrado en la figura 8.22 tiene la siguiente interpretaciónbiológica: una de las dos especies inevitablemente se extingue, por ejemplo,por debajo de la curva l las trayectorias tienden al punto crítico C(3, 0) locual quiere decir que las ovejas se extinguen; cuando las trayectorias estn porencima de la curva l las trayectorias tienden al punto crítico B(0, 2) lo cualquiere decir que se extinguen las liebres.Ejemplo 13.(Dos especies: un depredador y una presa). Sea x(t) elnúmero de presas (por ejemplo liebres) y y(t) el número de depredadores(por ejemplo lobos). A principios del siglo XX el matemático italiano VitoVolterra modeló este problema, haciendo las siguientes consideraciones:CxUniversidad de Antioquia, Depto. de MatematicasEn ausencia de depredadores, la población de presas crece a la tasanatural dxdt = ax, con a > 0. 331