CAP´ITULO 8 INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD

8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALESSi el sistema lineal asociado tiene un nodo frontera en (0, 0) (CASOD), el sistema no lineal puede tener un nodo o un foco.Si el sistema lineal asociado tiene un centro en (0, 0) (CASO E), entoncesel sistema no lineal puede tener un centro o un foco.Ejemplo 8. Consideremos el sistemadxdt = −y + ax(x2 + y 2 ),dydt = x + ay(x2 + y 2 )donde a es un parmetro. Mostrar que la linearizacin predice un centro o unfoco en el origen. Mostrar que realmente corresponde a un foco.El sistema lineal asociado es:dxdt = −y,dydt = xPara este último (el lineal): (0, 0) es un centro. Pero para el sistema no lineal,(0, 0) es un foco.Para mostrar que es un foco, cambiemos el sistema de coordenadas cartesianasa coordenadas polares. Sea x = r cos θ, y = r sen θ y r 2 = x 2 + y 2 ,luego rr ′ = xx ′ + yy ′ y sustituyendo en esta expresin a x ′ , y ′ se tiene querr ′ = x(−y + ax(x 2 + y 2 )) + y(x + ay(x 2 + y 2 )) = a(x 2 + y 2 ) 2 = ar 4 ,por lo tanto r ′ = ar 3 .Como θ = arctan y , entonces derivando θ con respecto a t y sustituyendo axx ′ , y ′ , se obtieneθ ′ = xy′ − yx ′= 1r 2obtenemos el sistema en coordenadas polaresr ′ = ar 3 , θ ′ = 1Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicaseste sistema es fcil de analizar, ya que r ′ depende solo de r y θ ′ es constante,la solucin es la familia de espiralesr =1√C − 2at, θ = t + t 0 ,321