Filtros FIR

12.4. MÉTODO DE MUESTREO EN FRECUENCIA 15Fig. 12.15: Especificaciones del filtro prototipo.12.4 Método de muestreo en frecuenciaUna manera sencilla de diseñar filtros FIR es a partir de la especificación de la respuestaen frecuencia deseada H d¡ejω k¢para un conjunto de frecuencias ωk , k =0, 1,...,N − 1.Ya que la respuesta en frecuenciaH ¡ e jω¢ =N−1Xn=0h [n] e −jωnde un filtro FIR de longitud N es un polinomio de grado N − 1 en e −jω con N coeficientesh[n], n =0, 1,...,N − 1, laespecificación de la respuesta deseada en N frecuencias ω k ,k = 0, 1,...,N − 1 distintas permite determinar de manera única los coeficientes h[n]desconocidos.¡ ¢Si la magnitud de la respuesta en frecuencia deseada a la frecuencia ω k , H d ejω k se notaH [k], setienequeH [0] = H d¡ejω 0¢= h [0] + h [1] e−jω 0+ ··· + h [N − 1] e −j(N−1)ω 0,H [1] = H d¡ejω 1¢= h [0] + h [1] e−jω 1+ ··· + h [N − 1] e −j(N−1)ω 1,.H [k] =H d¡ejω k¢= h [0] + h [1] e−jω k+ ··· + h [N − 1] e −j(N−1)ω k,.H [N − 1] = H d¡ejω N−1¢= h [0] + h [1] e−jω N−1+ ··· + h [N − 1] e −j(N−1)ω N−1,que puede expresarse en forma matricial como⎡⎤ ⎡H [0] 1 e −jω 0··· e −j(N−1)ω ⎤⎡⎤0h [0]H [1]1 e −jω 1··· e −j(N−1)ω 1h [1]⎢⎥=⎢⎣ . ⎦ ⎣.. . ..⎥⎢⎥. ⎦⎣. ⎦|H [N − 1]{z } |1 e −jω N−1···{ze −j(N−1)ω N−1} |h [N − 1]{z }HWhy entonces,h = W −1 H.Para el caso de un filtro FIR de fase lineal el cálculo podría refinarse aún mas debido a lasimetría de h[n]; por ejemplo, podrían especificarse solamente las frecuencias comprendidas