Filtros FIR

12.4. MÉTODO DE MUESTREO EN FRECUENCIA 17obienN−1Xk=0e −j 2π N kn =∞Xr=−∞δ [n − rN] , (12.11)para r entero. Volviendo a la expresión (12.10), limitando los valores de m al rango0 ≤ m ≤ N − 1, setienequeN−1Xk=0H [k] e j 2π N km =N−1Xn=0Cambiando nuevamente n por m, finalmente se obtieneh [n] = 1 N12.4.1 Relación entre h d [n] y h[n]h [n] N δ [n − m] =Nh[m] .N−1Xk=0H [k] e j 2π N kn (12.12)La relación entre la respuesta impulsiva h d [n] del filtro ideal o prototipo con respuesta enfrecuencia H d¡ejω ¢ y la respuesta impulsiva h[n] del filtro obtenido muestreando H d¡ejω ¢en determinadas frecuencias ω k =2πk/N, k =0, 1,...,N − 1 se puede establecer comosigue. El filtro prototipo tiene una respuesta en frecuenciadondeH d¡ejω ¢ =h d [`] = 12πZ π−π∞X`=−∞h d [`] e −jω`,H d¡ejω ¢ e jω`dω.Por otra parte, en cada una de las frecuencias ω k ,setieneH d¡ejω ¢¯¯ω=ωk = H [k] =y de acuerdo a la expresión(12.12),h [n] = 1 NN−1Xk=0H [k] e j 2π N kn = 1 NIntercambiando el orden de las sumatorias,h [n] =∞X`=−∞h d [`]N−1Xk=0∞X`=−∞Ã∞X`=−∞h d [`] e −j 2π N k`,N−11 Xe −j 2π N k(`−n) ,Nk=0k`!h d [`] e −j 2π N e j 2π N kn .donde la segunda sumatoria es la conocida expresión (12.11). Por lo tanto,h [n] =∞Xr=−∞h d [n + rN] . (12.13)