Filtros FIR

12.9. EJERCICIOS 373. Determine los rangos admisibles de ω 0 en función del ancho de banda del filtropasabajos prototipo, y calcule la banda de paso del transformador de Hilbert4. El orden de los filtros ¿puede ser par? ¿Por qué?Nota: Esta técnica de diseño sólo es aplicable para filtros FIR.Ejercicio 18 En este Ejercicio se explora el uso de la transformada de Hilbert para determinarla envolvente de una señal, en especial aquellas señales oscilatorias de alta frecuenciaque decaen lentamente, como las de resonancia magnética. Si x H [n] es la transformada deHilbert de x[n], la señal x A [n] =x[n]+x H [n] se denomina analítica.1. Si x[n] es una señal real con espectro X(e jω ), calcule los espectros X H (e jω ) de x H [n]y X A (e jω ) de x A [n].2. Calcule x H [n] y x A [n] si x[n] =a n cos(ω 0 n)u[n], |a| < 1.3. Calcule |x A [n]| , y compárela con la envolvente de x[n].Otras aplicaciones de la transformada de Hilbert se detallan en N. Thrane, J. Wismer, H.Konstantin-Hansen y S. Gade, “Practical use of the Hilbert transform”, Application NoteBO 0437-11, Brüel & Kjaer, Denmark (sin fecha).² ¯±M°Ejercicio 19 Diseñar un diferenciador FIR utilizando una ventana de Blackman. Larespuesta en frecuencia de un diferenciador ideal es:H d (e jω )=(jω)e −jωM/2 , −π < ω < π.1. Diseñe un diferenciador con M =40.2. Grafique la respuesta en frecuencia, y el error de aproximación.3. ¿Qué problema detecta? Modifique el diseño para eliminar este inconveniente. Grafiquela nueva respuesta en frecuencia y el error de aproximación.² ¯±C°Ejercicio 20 Luego que una señal se filtra con un pasabajos FIR de fase lineal es frecuenteefectuar una decimación, como se muestra en la Fig. 12.27. Si el filtro tiene una banda detransición muy angosta, el FIR tendrá una respuesta impulsiva de gran longitud y por lotanto deberán efectuarse un gran número de operaciones por cada muestra de salida.Fig. 12.27: Decimador de una etapa.1. La Fig. 12.28 muestra una implementación multietapa que es ventajosa cuando lafrecuencia de corte ω c =(ω r − ω p )/2 es pequeña y el factor de decimación M esgrande. La idea es adoptar bandas de transición más amplias en las primeras etapasy reducir la longitud de la respuesta impulsiva. La decimación reduce el númerode muestras de la señal disminuyendo significativamente el número de operacionesnecesarias para implementar el decimador.