Filtros FIR

4 CAPÍTULO 12. FILTROS FIRy en consecuencia, la respuesta impulsiva del filtro pasabajos modificado esh LP [n] = ω µ c ∆ω³ n´π sinc 2π n ωcsinc .πLa respuesta impulsiva del filtro pasabajos con banda de transición suavizada es la respuestaimpulsiva de un filtro pasabajos ideal con frecuencia de corte ω c [h PBI [n] =ω c /π sinc(ω c n/π)] pesada por una función temporal w[n] =sinc[∆ωn/(2π)].El filtro diseñado no es causal, y su respuesta impulsiva es doblemente infinita. Si serequiere un filtro de longitud N (por simplicidad se supone que N es impar), la expresiónde la respuesta impulsiva esh LP [n] = ω ∙c ∆ωπ sinc 2πµn − N − 12¸ ∙ µωcsincπn − N − 12Se pueden obtener transiciones más suaves si se utilizan polinomios interpoladores (splines)de mayor orden para unir las bandas de paso y de rechazo. La respuesta impulsiva de unfiltro diseñado con una polinomio de orden P esh LP [n] = ω cπ¸.∙ µ µ ∆ωsinc n − N − 1 ¸P ∙ µωcsinc n − N − 1 ¸, (12.4)2πP 2π 2con 0 ≤ n ≤ N − 1. En general, el efecto de P en la respuesta en frecuencia no es obvio.Para un filtro de longitud N y banda de transición ∆ω el valor óptimo de P que minimizala integral cuadrática del error (Burrus, Soewito y Gopinath, 1992) es» ¼∆ωP =4π (N − 1) , (12.5)donde d·e es la función techo (el entero superior más próximo). Esta expresión muestra quepara mantener un ∆ω dado, el aumento de la “suavidad” de la transición (un P mayor)implica un incremento de la longitud N del FIR. Otra forma de ver el mismo fenómeno esque para una interpolación de mayor orden, el ancho de banda efectivo del filtro es menor(por ejemplo, una interpolación de segundo orden impone que la derivada del módulo dela respuesta en frecuencia en las frecuencias esquina de la banda de paso y la banda derechazo sea nula, ensanchando las bandas de paso y de rechazo, y angostando la bandade transición). Una interpolación de orden alto con una banda de transición ∆ω dada esequivalente a una interpolación de menor orden con una banda de transición más angosta.Ejemplo 12.1 Diseño de un filtro pasabajosSe desea diseñar un filtro FIR pasabajos con ω p =0.3π y ω s =0.4π, yN =41. De (12.3) resulta∆ω =0.10π, yω c =0.35π. Aplicando (12.11), se encuentra que el P óptimo es P =1,yde(12.10) se tiene queh (1)LP[n] =0.35 sinc [0.10 (n − 20)] sinc [0.35 (n − 20)] .Para comparar, se calculan filtros utilizando polinomios interpoladores de segundo orden (P =2)yde cuarto orden (P =4), obteniéndoseh (2)LP [n] = 0.35{sinc [0.050 (n − 20)]}2 sinc [0.35 (n − 20)] ,h (4)LP [n] = 0.35{sinc [0.025 (n − 20)]}4 sinc [0.35 (n − 20)] ,