Filtros FIR

12.4. MÉTODO DE MUESTREO EN FRECUENCIA 23La TDF inversa de H[k] esh[n] =n1− √ o24, 1+√ 24, 1+√ 24, 1−√ 24.La Fig. 12.18 muestra la respuesta del filtro; compare con la respuesta del Ejemplo 12.8 (Fig. 12.16).El efecto del aliasing temporal en la respuesta impulsiva del filtro se observa en la Fig. 12.19, quemuestra la respuesta impulsiva h[n] del filtro FIR diseñado (vea la Fig. 12.18) y las réplicas (cadaN =4)delarespuestaimpulsivah d [n] del filtro idealh d [n] = ω ³ n´cπ sinc ωc, −∞ ≤ n ≤∞.πEs evidente que cada una de las muestras de la respuesta impulsiva es la suma de las infinitasréplicas de h d [n], para0 ≤ n ≤ 3. También puede apreciarse que la respuesta impulsiva h[n] no esexactamente igual a ninguna de las réplicas de h d [n]. 2Enlosejemplosanterioreslarespuestadelfiltro diseñada difierebastantedeladelfiltroideal. Esto puede atribuirse a que el muestreo en frecuencia no tiene la resolución suficiente,o bien que la respuesta impulsiva es de longitud reducida. La Fig. 12.20 muestrala respuesta del filtro del Ejemplo 12.10 para N =15. Aún en este caso puede apreciaseque la ganancia del filtro en la banda de rechazo tiene picos de amplitud significativa (laatenuación en la banda de rechazo es menor a 20 dB). Este comportamiento se debe alefecto Gibbs, y puede disminuirse proponiendo una transición suave. Esta aproximaciónse observa en la Fig. 12.21, donde las muestras vecinas a la zona de transición se cambiaronde 1 a 0.4. Con este procedimiento la atenuación en la banda de rechazo excede los 40 dB.El ajuste de la ganancia propuesta en la zona de transición puede hacerse por pruebay error, como en este caso, o bien aplicando métodos de programación lineal de formade encontrar los valores que permitan obtener las mayores atenuaciones en la banda derechazo con la zona de transición más angosta posible. Estos resultados se encuentrantabulados, por ejemplo en Proakis (1992).12.4.3 ImplementaciónUn filtro FIR diseñado por la técnica de muestreo en frecuencia se puede implementar demanera recursiva. Partiendo de la expresión de la transformada z de la respuesta impulsivay de acuerdo con (12.12).H (z) ==N−1Xn=0N−1Xk=0Ã1NH [k]= 1 − z−NNN−1Xk=0H (z) =N−1Xn=0H [k] e j 2π N kn !N−11 XNN−1Xk=0n=0h [n] z −nz −ne j 2π N kn z −n =H [k]1 − e j 2π N k z −1 .N−1Xk=0H [k]1 1 −³e j 2π N k z −1´NN 1 − e j 2π N k z −1