Seppo Sajama LOGIIKKA JA ARGUMENTAATIO 2012 - Joensuu

Muutossääntö (S4):n perusteella MIUUIIU:n voi muuttaa muotoon MIIIU.
Kannattaa huomata, että kaikissa säännöissä on sana "voi", ei "täytyy". Muutosta ei ole pakko tehdä. Ja
muutoksia ei saa tehdä toiseen suuntaan.
Näin "todistetaan" kaava MUIIU:
1 MI Aksiooma
2 MII (S2):lla edellisestä
3 MIIII (S2):lla edellisestä
4 MUI (S3):lla edellisestä
5 MUIU (S1):lla edellisestä
6 MUIUUIU (S2):lla edellisestä
7 MUIIU (S4):lla edellisestä
Hofstadter kysyy nyt, voiko kaavan MU todistaa tässä järjestelmässä? Pohdinnan helpottamiseksi hänen
neljä sääntöään voi esittää yksinkertaisemmassa muodossa:
(S1) Voit lisätä U:n sanan lopussa olevan I:n jälkeen.
(S2) Voit kahdentaa minkä tahansa M:n jälkeen tulevan jonon.
(S3) Voit korvata sanassa olevan jonon III kirjaimella U.
(S4) Voit pyyhkiä pois sanassa olevan jonon UU.
Vastaus Hofstadterin kysymykseen lienee "ei".
Hofstadterin kieltämättä keinotekoisessa systeemissä toteutuu aksiomaattisen järjestelmän idea:
joukosta aksioomia johdetaan systeemiin kuuluvat teoreemat annettujen päättelysääntöjen avulla.
Tässä yksinkertaisessa systeemissä aksioomia on vain yksi ja päättelysääntöjä (muunnos‐ eli
transformaatiosääntöjä) on neljä. Jokaisesta hyvin muodostetusta lauseesta voidaan periaatteessa
sanoa yksiselitteisesti, kuuluuko se systeemiin vai ei (eli todistuuko se tässä systeemissä vai ei).
3 Eukleideen geometria
Eukleideen geometria kuuluu kreikkalaisen tieteen huippusaavutuksiin. Hänen tutkielmansa Elementa eli
Alkeet antoi kaikille muillekin tieteille mallin (paradigman) siitä, millaista tieteen pitäisi olla: kaikki tieto
pitää johtaa pienestä määrästä itsestään selviä lähtökohtia sitovien päättelyiden avulla. Tämä tieteen
ihanne pätee edelleenkin matematiikassa ja logiikassa. (Ja filosofian metodiopetuksessa.)
Eukleideen geometrian perusaineksia eli lähtökohtia olivat aksioomat, postulaatit ja määritelmät.