Vincent Trinquet IVP 2 Avril 2007 - EIVP

Ainsi la variance de a1 et a2 est divisée par 2, et l’écart-type par 2 par rapport à la méthode
classique.
La variance de a0 reste inchangée.
Et le plan d’expérience 2 2 fournit a12 avec une variance Var(a12) = ¼ Var(y)
alors que la méthode classique ne prend pas en compte cet effet.
Remarque
On peut faire l’analogie avec une quadruple pesée avec 4 poids a0 , a1 , a2 et a12 .
Cependant, l’analogie est limité par le fait que a12 n’est pas un poids réel, mais représente l’intezraction
entre 2 poids. Il pourrait être représentée par une aimantation.
2) Limites des plans à 2 niveaux
Les plans complets à 2 niveaux supposent une loi linéaire avec un terme (ou des termes)
d’interaction n-linéaire (linéaire par rapport à chacune des variables).
Par exemple, dans le cas d’un plan complet à 2 niveaux et 2 facteurs, on suppose que la surface de réponse
puisse s’approximer par le modèle suivant :
y = a0 + a1 x1+ a2 x2 + a12 x1 x2
Or si l’on prend une fonction quelconque de 2 facteurs, il n’ y aucune raison qu’elle soit
effectivement approximable par un tel modèle. Prenons par exemple le contre-exemple de la fonction h :
(x1 ; x2) → 100 x1 2 -100 + 0.1 x1 + 0* x2.
Admettons que l’on recherche le point le plus bas de la surface de réponse.
Le modèle « y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2 » nous fournira les points tels que x1=-1 et x2 quelconque.
En effet, y(-1 ; x2)=-0.1 et y(+1 ; x2)= +0.1
On mesure expérimentalement :
-pour x1=-1 et x2==-1, on obtient y=-0.1
-pour x1=-1 et x2==1, on obtient y=-0.1
-pour x1=1 et x2==-1, on obtient y= +0.1
-pour x1=1 et x2==1, on obtient y=-0.1
En résolvant le système de 4 équations à 4 inconnues, on obtiendra :
a0 = 0
a 1 = 0.1
a 2,= 0
a 12= 0
cad y = 0+ 0.1x1+ 0*x2+ 0*x1 x2= 0.1x1
Les conclusions du plan d’expériences laisseraient penser que les points bas se situent sur la droite
d’équation x1==-1.alors que, en réalité, l’ensemble des points bas est la droite x1==-0.1/200=-0.0005≈0.
On voit bien dans cet exemple les limites du modèle. Plus généralement, le modèle « y= a 0+ a 1 x1+
a 2 x2+ a 12 x1 x2 » est trompeur notamment pour considérer les fonctions caractérisées par de grandes
fluctuations, lorsque les coupes verticales du graphe y=f(x1 ; x2) parallèles aux axes (O x1) et (O x2)
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