Vincent Trinquet IVP 2 Avril 2007 - EIVP

De même, l’ajout du terme en x2 2 correspond géométriquement à l’ajout d’une surface de réponse
parabolique par rapport à x2 et invariante par translation selon l’axe (O x1)
Cela reviendrait à rajouter ces deux fonctions quadratiques au modèle précédent, ce qui pernettrait
de prendre en compte l’éventuelle non-bilinéarité de la réponse. Cependant, ce modèle « y= a 0+ a 1 x1+ a 2
x2+ a 12 x1 x2+ a 11 x1 2 + a 22 x2 2 » , (satisfaisant intellectuellement car il constitue le développement de
Taylor à l’ordre 2 de la fonction-réponse) présente un problème vis-à-vis de l’expérimentation. Il fait
apparaître 6 coefficients à déterminer expérimentalement : a 0, a 1 , a 2 , a 12 , a 11 , a 22 donc nécessite 6
expériences ou plus. On ne peut plus alors choisir un plan à 2 niveaux avec chacun des facteurs au niveau
+1 ou -1. Il faut prendre 3 niveaux : -1 ; 0 et +1 afin de prendre en compte l’influence quadratique. Si on
choisit le plan 3 2 , nous obtenons un système de 8 équations et seulement 6 inconnues, ce qui signifie que 2
équations sont en trop.
Nous voyons ainsi la complexité de l’expérimentique associée au modèle polynomial « y= a 0+ a 1 x1+
a 2 x2+ a 12 x1 x2+ a 11 x1 2 + a 22 x2 2 » et plus généralement aux modèles polynomiaux d’ordre n. Des
chercheurs proposent des plans pour de tels modèles, mais beaucoup plus compliqués que les plans à 2 ou
3 niveaux.
Une astuce consiste néanmoins à utiliser le plan 3 2 avec le modèle :
« y= a 0+ a 1 x1+ a 2 x2+ a 12 x1 x2+ a 11 x1 2 + a 22 x2 2 + a 112 x1 2 x2+ a 122 x1 x2 2 + a 1122 x1 2 x2 2 », à mesurer la
réponse expérimentalement aux 9 points du domaine d’étude :
Grâce au système de 9 équations à 9 inconnues, on trouve les effets a0 , a 1 , a 2, a 12 , a 11 , a22, a 112 , a 122
et a 1122 . Puis on néglige les termes a 112 , a 122 et a 1122.
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