Exercices et solutions.pdf - IUMSP

Exercices du Chapitre 8
8.1 On lance une pièce de monnaie douze fois, la probabilité d’obtenir pile étant inconnue
et égale à p. Supposons que l’expérience a fourni le résultat suivant:
{F, P, P, F, F, P, F, F, P, F, P, P},
oú F est l’abréviation pour “face” et P celle pour “pile”. Donner une expression pour la
fonction de vraisemblance en supposant que le résultat d’un jet est une épreuve de Bernoulli
de paramètre p. Endéduire une estimation de p par maximum de vraisemblance.
8.2 Les oiseaux d’un certain type prennent leur envol après avoir effectué quelques sauts
sur le sol. On suppose que ce nombre X de saut peut être modélisé par une distribution
géométrique:
P (X = x) =p(1 − p) x , x ≥ 0.
Notons que la distribution géométrique correspond au nombre d’essais jusqu’au premier
succès si l’on procède àdesrépétitions indépendantes d’épreuves de Bernoulli avec probabilité
desuccès p. Pourn = 130 oiseaux de ce type, on a relevé les données suivantes:
nombre x de sauts 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fréquence de x 48 31 20 9 6 5 4 2 1 1 2 1
(a) Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de p est donné par
ˆp =
1
( n i=1 Xi)/n +1 .
(b) Calculer la valeur de ˆp obtenueaveclesdonnées.
8.3 Démontrer la formule de la fonction de vraisemblance du modèledeGaussdonnée dans
le cours. En déduire les estimateurs du maximum de vraisemblance pour les paramètres µ
et σ 2 .
8.4 Une variable aléatoire X apourdensité f(x) =(β +1)x β où0