Exercices et solutions.pdf - IUMSP

Solutions des exercices du Chapitre 8
8.1 Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 lorsqu’on a pile et 0 dans le cas contraire. X
est une variable aléatoire de Bernoulli avec probabilité desuccès égale à p. Lafonctionde
vraisemblance est donc:
L(p) =Π 12
i=1P (X = xi) =p 6 (1 − p) 6 .
On cherche la valeur de p qui maximise cette fonction, ou de manière équivalente, le
maximum de ln(L) =6ln(p) +6ln(1− p). Le maximum est obtenu là oùladérivée est
nulle, donc:
d’où p =1/2.
6
p −
6
(1 − p) =0
8.2 On a P (X = xi) =p(1 − p) xi pour i =1,...,n où lesxisont le nombres de sauts
observés et n = 130.
(a) La fonction de vraisemblance est
L(p) =Π n i=1 P (X = xi) =Π n i=1 p(1 − p)xi =(p) n Π n i=1 (1 − p) xi
et le logarithme de cette fonction est
log(L(p)) = nlog(p) + [log(1 − p)]
n
xi.
Le maximum de cette fonction s’obtient là oùladérivée par rapport à p est nulle.
L’estimateur du maximum de vraisemblance vérifie donc
n
ˆp
− 1
1 − ˆp
n
xi =0,
i=1
d’où
ˆp =
1
( n i=1 Xi)/n +1 .
(b) Avec les données on trouve ˆp =0.263.
8.3 On considère un échantillon x1,...,xn de taille n. La fonction de vraisemblance s’écrit
donc:
L(µ, σ 2 )=Π n i=1f(xi) =Π n i=1 (2πσ2 ) −1/2 exp(−(xi − µ) 2 /(2σ 2 )),
n
(xi − µ) 2 /(2σ 2 )).
=[(2πσ 2 ) −1/2 ] n exp(−
Le logarithme de cette fonction est donné par:
i=1
ln(L) =(−n/2) ln(2π) − (n/2) ln(σ 2 ) −
i=1
n
(xi − µ) 2 /(2σ 2 ).
i=1