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1.2 Soit Q la quantité de cerises. Les histogrammes sont donnés ci-dessous. Frequency 0 2 4 6 8 10 Histogram of Q 100 120 140 Q 160 180 Frequency 0 5 10 15 Histogram of Q 100 120 140 Q 160 180 L’histogramme avec six classes ([96, 112),...,[176, 192)) ne révèle pas la légère asymétrie visible dans l’histogramme à 12 classes. Il est donc important de choisir un nombre de classes suffisamment grand (mais pas trop: on pourrait perdre la vision succinte de la structure). 1.3 Dans la représentation graphique, le niveau faible est codé −1 etleniveauélevé est codé +1. Lareprésentation graphique ne soutient pas l’hypothèse que le déficit alimentaire protéique est associé à la myopie. On observe une mesure de réfraction atypique et très élevée (9.00) dans la première série (niveau faible). Niveau −2 −1 0 1 2 −5 0 5 Refraction
Solutions des exercices du Chapitre 2 2.1 Soit X le vecteur à m = 20 composantes contenant les mesures àfaibleniveauprotéique et Y le vecteur à n = 17 composantes contenant les mesures àniveauprotéique élevé. (a) On pose α =0.25 et β =0.75 et on obtient: m(X) =0.453, med(X) =0.750, s(X) =2.805, [⌊mα⌋] =5,[⌊mβ⌋] = 15, qα(X) =−0.375, qβ(X) =1.385, Iq(X) =1.76; m(Y )=0.273, med(Y )=0.750, s(Y )=2.007, [⌊nα⌋] =4,[⌊nβ⌋] = 12, qα(Y )=0.00, qβ(Y )=1.25, Iq(X) =1.25. Le logiciel R utilise une version lissée de la function de distribution cumulative empirique dans le calcul des quantiles. Il donne les résultats suivants: qα(X) =−0.3125, qβ(X) =1.3275, Iq(X) =1.64, qα(Y )=−0.2500, qβ(X) =1.2500, Iq(X) =1.00. (b) m(X) >m(Y ), mais les médianes sont identiques. On ne peut pas conclure que ces résultats soutiennent l’hypotèse. (c) Après suppression de la donnée 9.00 dans X, onobtient: m(X) =0.00, med(X) =0.750, s(X) =2.058, [⌊mα⌋] =4,[⌊mβ⌋] = 14, qα(X) =−1.5, qβ(X) =1.25, Iq(X) =2.75. Avec R, on obtient Iq =1.635. On remarque que m(X) ets(X) changent de façon importante, tandis que med(X) etIq(X) (version lissée de R) sont presque insensibles à la suppression de la mesure extrême. 2.2 Soit N le nombre d’étamines. Après élimination de la plus petite valeur dans les deux ensembles de données on obtient: (a) m(N) = 659.32, med(N) = 422, m(log(N)) = 6.056, med(log(N)) = 6.045. (b) La médiane représente le milieu de la distribution; la moyenne est infuencée par les valeurs extrêmes (en particulier par les valeurs élevées de N). La moyenne et la médiane de N sont très différentes car la distribution de N est très asymétrique. La médiane et la moyenne de log(N) sonttrès proches, car la distribution de log(N) est presque symétrique. (c) On observe que log(med(N)) = 6.045 = med(log(N)). Ceci s’explique de la façon suivante. Soient n [1] ≤ ...≤ n [99] les valeurs ordonnées de N. Donc med(N) =n [50] et log(med(N)) = log(n [50]). En outre, comme log est une fonction monotone croissante, les valeurs ordonnées de log(N) sont log(n [1]) ≤ ... ≤ log(n [99]). Donc med(log(N)) = log(n [50]) = log(med(N)). (g) Avec toutes les données (100), on obtient med(log(N)) = 6.030581 ≈ 6.030685 = log(med(N)). Il n’y a pas une parfaite égalité car med(log(N)) = [log(n [50])+log(n [51])]/2 = log[(n [50] + n [51])/2]. (d) Évidemment, la propriété delamédiane que l’on vient d’établir s’étend à tout quantile (de façon approximative ou exacte selon la définition). (e) On peut étendre les propriétés susmentionnées à d’autres transformations, pourvu qu’elle soient monotones croissantes. (Que se passe-t-il pour des transformations décroissantes ?) La proprété ne vaut pas pour des transformations non monotones: par exemple, med(sin(N)) = −0.18472 = 0.85554 = sin(med(N)). (f) On a m(log(N)) = 6.056395 < 6.419214 = log(m(N). La propriété ne vaut pas pour la moyenne.
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