Exercices et solutions.pdf - IUMSP

Solutions des exercices du Chapitre 6
6.1 Rappel. Le nombre de façons de pendre k objets parmi n objets, sans remise et sans
tenir compte de l’ordre est:
n n!
= , avec 0 ≤ k ≤ n.
k k!(n − k)!
On utilise aussi le symbole Cn k àlaplacede n
k .
Soit X, le nombre de garçons dans un échantillon (choisi au hasard) de 3 élèves pris parmi
les 10 de la classe. D’une part, le nombre des échantillons possibles comptant 3 élèves
est C 10
3 . D’autre part, le nombre d’échantillons comprenant X garçons est C4 X C6 3−X (avec
0 ≤ X ≤ 3). Donc, la probabilté d’avoir X = x garçons dans un échantillon de taille 3 est:
Exemple:
P (X = x) =
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles = C4 xC 6 3−x
C10 3
nombre de cas favorables
P (X =2)=
nombre de cas possibles
= (nb de façons de tirer 2 garçons parmi 4) × (nb de façons de tirer 1 fille parmi 6)
nombre de cas possibles
= C4 2 C6 1
C 10
3
On obtient:
.
P (X =0)=0.166, P(X =1)=0.5, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.033.
6.2 X prend ses valeurs dans l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
(a) En posant p =0.25 = probabilité qu’une pomme soit avariée, on obtient:
P (X =0)=(1−p) 5 =0.2373047,
P (X =1)=5p(1 − p) 4 =0.3955078,
Explication:
En considérant le tirage de chaque pomme comme indépendant des autres, on peut
multiplier les probabilités relatives à chacune des pommes. Pour X =0,nousavons
donc un facteur (1 − p) pour chaque pomme, ce qui donne (1 − p) 5 . Pour X =1,
c’est un peu plus compliqué. Appelons A l’évènement ”tirer une pomme avariée”.
Pour obtenir un emballage avec une seule pomme avariée, on peut par exemple faire
le tirage T1 = {A ĀĀĀĀ}. La probabilité deT1 est P (T1) =p(1 − p) 4 .MaisT1 n’est
pas la seule possibilité pour obtenir une seule pomme avariée: les4tiragessuivants,
T2 à T5, donnent aussi ce résultat:
T2 = { ĀAĀĀĀ}, T3 = { ĀĀAĀĀ},
T4 = { ĀĀĀAĀ}, T5 = { ĀĀĀĀA}.
.