Exercices et solutions.pdf - IUMSP

Exercices du Chapitre 10
10.1 Dans un test à choix multiple on pose à un candidat 20 questions. Chaque question
aquatreréponses possibles dont une seule est juste. On suppose que si le candidat n’a
pas de connaissances, il choisit au hazard une des quatres réponses. Si le candidat répond
correctement à 9 au moins des 20 questions, on considère qu’il possède des connaissances.
(a) Calculer la probabilité deconsidérer le candidat comme ayant des connaissances alors
qu’il ne fait que deviner les réponses.
(b) Formuler la règle de décision sous forme de test statistique
(c) L’erreur mentionné sous (a) est-elle de type I ou de type II ?
10.2 Dans beaucoup d’espèces, la probabilté p de mourir durant l’année est indépendante de
l’âge. La distribution des âges à la mort suit alors une distribution géométrique pour laquelle
P (X = x) =p(1−p) x (X étant l’âge au moment du décès). Nous nous intéressons à une
population où la probabilité dedisparaître au cours d’une année est supposée égale à0.1.
Lors d’un échantillonnage aléatoire de deux individus dans cette population, nous obtenons
deux individus âgés de plus de 20 ans. Ce résultat permet-il de soutenir l’hypothèse selon
laquelle la probabilité dedécès est de 0.1? Sinon, proposer des valeurs de p plausibles.
10.3 Considérons une variable aléatoire suivant une distribution normale N(µ, 1). On
désire tester H0 : µ =6contreH1 : µ =7surlabased’unéchantillon de taille n =4.
On rejette H0 si (X1 + X2 + X3 + X4)/4 ≥ 7. Calculer les probabilités de commettre des
erreurs de première et deuxième espèces.
10.4 Considérons la population des hommes de 12 à 40 ans. On s’intéresse à leur taille
moyenne µ inconnue. Supposons donné l’écart type de leur tailles σ = 6 centimètres. Au
seuil α = 1%, tester l’hypothèse H0 : µ = 160 cm contre H1 : µ = 160 cm en sachant que
l’on a calculé la moyenne x des tailles de 31 individus d’un échantillon et que x = 147.4
cm a été trouvé.
10.5 Dans un Gymnase d’un canton suisse, des enquêtes ont montré que la proportion
de jeunes fumeurs était de 40%. Le directeur de l’établissement désire savoir si cette
proportion a diminué grâce à une campagne anti tabac. Pour cela, il fait une enquête
auprès de 20 jeunes du Gymnase dont il ressort que 8 sont fumeurs. Peut-on rejeter au
seuil de 5% l’hypothèse H0 : “la proportion de fumeurs est de 40%” contre l’alternative
H1 : “la proportion de fumeurs est inférieur à 40%”?
Indication: on prendra comme statistique le nombre K de fumeurs et on supposera que
sous H0 elle suit une distribution binomiale B(n =20,p=0.4) donnée ci-dessous:
k: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P (K = k): 3.65e-05 .00048 .003 .012 .035 .074 .12 .16 .18 .16 .11
k: 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
P (K = k): .07 .035 .014 .0048 .0013 .00027 4.23e-05 4.7e-06 3.3e-07 1.01e-08