Exercices et solutions.pdf - IUMSP

Solutions des exercices du Chapitre 9
9.1 Soient X1, X2 et X3 les variables aléatoires qui représentent les quantités de potassium
contenues dans les trois verres. On suppose que X1, X2 et X3 sont indépendantes et
soit T = X1 + X2 + X3. On trouve μ(T ) = 21mg et σ 2 (T )=0.48mg 2 (voir solution
de l’exercice 7.5 du Chapitre 7). Donc, P (T > 15mg) = P ((T − 21mg)/0.69282mg >
(15 − 21)/0.69282) = P (Z >−8.66026) = 1, où Z ∼N(0, 1).
9.2 Soit Xi la variable aléatoire qui vaut 1 lorsque la face 6 apparaît lors du i-ème jet et 0
sinon. X n’est autre que la somme des Xi:
X =
n
Xi,
i=1
où n = 1200 est le nombre de jets.
Comme les Xi sont indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et que n est grand,
on peut utiliser l’approximation normale. On va donc considérer Z, la version centrée
et réduite de X, obtenue en lui soustrayant son espérance μ et en la divisant par son écart
type σ:
X − μ
Z = ,
σ
et faire l’approximation que Z suit une distribution N (0, 1).
On trouve μ et σ en utilisant les propriétés de la distribution binomiale (p. 7.3 du polycopié).
En effet, on a que
X ∼B(n, p),
où n = 1200 est le nombre de jets et p =1/6 est la probabilité d’obtenir un 6. On trouve
μ = np = 200 et σ = np(1 − p) ∼ = 12.91.
On trouve la probabilité demandée en écrivant
En utilisant la table, on trouve
180 − μ X − μ 220 − μ
P (180 ≤ X ≤ 220) = P ≤ ≤
σ σ σ
180 − μ 220 − μ
= P ≤ Z ≤
σ
σ
∼= P (−1.55 ≤ Z ≤ 1.55).
P (−1.55 ≤ Z ≤ 1.55) = 0.8788.
N.B.: Cette méthode est valable pour n’importe quelle distribution binomiale Y ∼B(n, p)
lorsque n est assez grand, car Y est toujours la somme de n variables i.i.d. suivant
une distribution B(1,p). (Dans l’exemple ci-dessus, on a Xi ∼B(1, 1/6).)