Exercices et solutions.pdf - IUMSP

(b) Soit B4 : “le quatrième prince a les yeux bleus”; on cherche P (B4 | B1 ∩ B2 ∩ B3).
On rappelle que F : “les trois premiers princes ont les yeux non bleus”; on veut donc
P (B4|F ). On sait que:
P (B4|F )=
P (B4 ∩ F )
P (F |A) · P (A)+P (F |A) · P (A) .
On pose G = B4 ∩ F et on a P (G) = P (G|A)P (A) +P (G|A)P (A). Grâce à
l’indépendance des Bi, ona:
Avec P (Bi|A)=1, on a:
P (G|A) =P (B4|A)P (B1|A)P (B2|A)P (B3|A),
P (G|A) =P (B4|A)P (B1|A)P (B2|A)P (B3|A).
La probabilité cherchée est finalement:
P (B4|F )= (1/2)5 +1· (1/2)
(1/2) 4 +1· (1/2) =17/18.
P (B4|F )=1− P (B4|F )=1/18.
5.3 Soit A : “le prix du café augmente” et J : “le journal prévoit une augmentation du
prix du café”. On a P (A) =0.6 doncP (A) =0.4, P (J|A) =0.8, P (J|A) =0.55, donc
P (J|A) =0.45.
(a) On évalue la probabilité que le prix du café augmente sachant que le journal a prévu
une hausse soit:
P (A|J) =
P (J|A)P (A)
P (J|A)P (A)+P (J|A)P (A) =
0.8 × 0.6
0.8 × 0.6+0.45 × 0.4 =0.727.
(b) On note E l’évènement “‘l’expert prévoit une hausse du prix du café”. Avec l’énoncé
P (E|A) =0.99 et P (E|A) =0.88. La socété peutaméliorer son estimation de la
probabilité de hausse en combinant les informations obtenues du journal et de l’expert,
en supposant l’indépendance des deux sources d’information. On veut donc P (A|J ∩
E). Par le Théorème de Bayes:
P (A|J ∩ E) =
P (J ∩ E|A)P (A)
P (J ∩ E|A)P (A)+P (J ∩ E|A)P (A) .
Avec l’indépendance conditionnelle des deux sources:
d’où:
P (J ∩ E|A) =P (J|A)P (E|A) =0.8 × 0.99 = 0.792,
P (J ∩ E|A) =P (J|A)P (E|A) =0.45 × 0.12 = 0.054,
P (A|J ∩ E) =
0.792 × 0.6
0.792 × 0.6+0.054 × 0.4 =0.956.