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7.2 Supposons que la direction de la rue est Nord-Sud <strong>et</strong> qu’il y a au moins deux portails<br />
au Sud <strong>et</strong> deux au Nord du premier.<br />
Première solution. Pour que l’ivrogne se r<strong>et</strong>rouve au point de départ, il faut que la suite<br />
de ses mouvements (N = vers le Nord; S = vers le Sud) soit une des suivantes:<br />
N N S S<br />
N S N S<br />
N S S N<br />
S S N N<br />
S N S N<br />
S N N S<br />
Comme chaque suite à probabilité(1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16, la probabilité que l’ivrogne<br />
se r<strong>et</strong>rouve au point de départ est 6/16 = 3/8.<br />
Deuxième solution. Soit Xi une variable aléatoire qui vaut 1 lorsque l’ivrogne part dans<br />
un sens après la ième tentative <strong>et</strong> −1 s’il part dans le sens contraire. On peut considérer<br />
la marche de l’ivrogne comme résultat de quatres épreuves. En posant S4 = X1 + X2 +<br />
X3 + X4, cela revient àtrouverP (S4 =0). Lescasfavorablessont<br />
{(1, −1, 1, −1), (−1, 1, 1, −1), (1, 1, −1, −1), (−1, −1, 1, 1), (1, −1, −1, 1), (−1, 1, −1, 1)}.<br />
Avec P (Xi =1)=P (Xi = −1) = 1/2 <strong>et</strong> si on suppose l’indépendance des variables<br />
aléatoires Xi, onaP (S4 =0)=6× (1/2) 4 =0.375.<br />
Troisième solution. Considérons quatre départs. Soit X la variable aléatoire qui indique,<br />
sur ces quatre départs,lenombredefoisoùl’ivrogne est parti vers le Nord. C<strong>et</strong>te variable<br />
à une distribution binomiale B(n =4,p =1/2). Pour que l’ivrogne se r<strong>et</strong>rouve au point<br />
de départ, il faut que X =2<strong>et</strong><br />
P (X =2)=<br />
<br />
4<br />
2<br />
p 2 (1 − p) 2 =<br />
4 × 3 × 2 × 1<br />
2 × 1 × 2 × 1 (1/2)4 =3/8.<br />
7.3 La variable aléatoire X1 estlenombredesuccès dans n1 épreuves indépendantes de<br />
Bernoulli avec la même probabilité p de succès. La variable aléatoire X2 estlenombrede<br />
succès dans n2 épreuves indépendantes de Bernoulli avec la même probabilité p de succès.<br />
Donc, Y = X1 + X2 est le nombre de succès dans les n1 + n2 épreuves indépendantes de<br />
Bernoulli avec la même probabilité p de succès. On conclut que Y ∼B(n1 + n2,p).<br />
7.4 Soit X la quantité mise en bouteille (en cl). Donc X ∼N(μ, σ 2 =4).<br />
(a) μ = 101;<br />
P (X < 100) = P ((X − 101)/2 < (100 − 101)/2) = P (Z < −1/2) = Φ(−1/2) où<br />
Z =(X − 101)/2 ∼N(0, 1), <strong>et</strong> Φ est la fonction de distribution cumulative de la<br />
distribution normale centrée réduite. Grâce àlasymétrie de la densité normale,<br />
Φ(−1/2) = 1 − Φ(1/2) <strong>et</strong>, à l’aide d’une table ou du logiciel R, on trouve Φ(1/2) =<br />
0.6915. Donc, P (X