Exercices et solutions.pdf - IUMSP

9.3 Soit X le nombre de globules blancs par unité de volume. On peut considérer X comme
la somme de 100 variables aléatoires i.i.d. avec distribution de Poisson de paramètre λ =1.
On peut donc utiliser l’approximation normale.
D’après les propriétés de la distribution de Poisson (p. 7.3. du polycopié), E(X) = 100 et
σ 2 (X) = 100. On a donc
P (X ≥ 90) = P ((X − 100)/10 ≥ (90 − 100)/10) = P (Z ≥−1) = P (Z 115000) = P
Z>
115000 − Nμ
√ Nσ
= P (Z >1.5) = 1 − P (Z ≤ 1.5),
où Z =(T − Nμ)/( √ Nσ) suit approximativement une distribution N (0, 1). La probabilité
cherchée est donc de 0.0668 (table).
(b) On veut N tel que P (T >50000) ≥ 0.95, ce qui est équivalent à P (T ≤ 50000) ≤ 0.05.
Or,
P (T ≤ 50000) = P
Z ≤
50000 − Nμ
√ ,
Nσ
où Z est défini comme au point (a). En faisant l’approximation Z ∼N(0, 1) et en
définissant z0.05 comme le quantile 0.05 de la distribution N(0, 1), on obtient que
P
Z ≤
50000 − Nμ
√ ≤ 0.05 ⇐⇒
Nσ
(faire un dessin pour s’en convaincre).
Nous allons donc résoudre l’équation suivante:
50000 − Nμ− √ Nσz0.05 =0.
50000 − Nμ
√ Nσ
≤ z0.05
En posant y = √ N, la variable auxiliaire y vérifie l’équation du second degré:
y 2 μ + yσz0.05 − 50000 = 0.
A l’aide de la table, on trouve que z0.05 = −1.64. En remplaçant les différents
paramètres par leur valeur, on obtient l’équation
y 2 − 1.64y − 50 = 0
dont la solution positive vaut 7.94. Comme N = y 2 , la solution pour N vaut 63.04.
La valeur minimale de N qui satsifait P (T >50000) est donc Nmin = 64.