Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

2. ESPACES TOPOLOGIQUES ET ALGÈBRES 121
Le résultat suivant nous permet d’affirmer que pour étudier les groupes d’homotopie
d’un espace topologique pointé (X, x 0 ), il suffit d’étudier les groupes d’homotopie
de l’espace de lacets de Moore ΩX correspondant.
THÉORÈME 11.18.
Soit (X, x 0 ) un espace topologique pointé et ΩX l’espace de lacets de Moore correspondant.
Alors π k (ΩX) π k+1 (X) pour tout k ≥ 1.
Avant de prouver ceci, voici quelques rappels utiles pour la démonstration.
Rappel.
Soient E et B deux espaces topologiques. Une application continue p : E → B est
une fibration si elle vérifie la propriété de relèvement d’homotopie : pour tout carré
commutatif
Y × {0}
i
Y × I
f
h
g
E
B
p
il existe un revêtement h : Y × I → E tel que ph = g et hi = f . On appelle E l’espace
total et B l’espace de base de fibration.
Fixons un point de base b 0 ∈ B et posons F = p −1 (b 0 ), la fibre de p. Alors il existe
une suite longue exacte en homotopie,
· · · → π n (F) → π n (E) → π n (B) → π n−1 (F) → · · ·
DÉMONSTRATION. Soit PX = {(γ, s 0 ) ∈ MX | γ(0) = x 0 } l’ensemble des chemins
de Moore partant de x 0 .
(1) L’ensemble PX muni de la topologie de sous-espace est contractile.
En effet, soit
définie par
H : PX × I → PX
H((γ, s 0 ), t) = (γ, (1 − t)s 0 )
pour tout (γ, s 0 ) ∈ PX et t ∈ I. Nous avons alors
H((γ, s 0 ), 0) = (γ, s 0 ),
H((γ, s 0 ), 1) = (γ, 0) = (c, 0),
où (c, 0) est le chemin constant en x 0 . De plus H est clairement continue,
nous avons ainsi trouvé une homotopie entre PX et l’espace à un seul
point qui correspond ici à l’application constante (c, 0).
(2) L’application d’évaluation ɛ : PX → X définie par ɛ(γ, s 0 ) = γ(s 0 ) est une
fibration.