Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

44 4. LE THÉORÈME D’HUREWICZ
satisfaisant
Posons maintenant
⎧
h(D ⎪⎨
q × {0}) = (∆ q × {0}) ∪ ( ˙∆ q × I),
h(S
⎪⎩
q−1 × {0}) = ˙∆ q × {1},
h((S q−1 × I) ∪ (D q × I)) = ∆ q × I.
σ ′ : (D q , S q−1 ) → (X, A)
u ↦→ σ(h(u, 0)).
Puisque q ≤ n et (X, A) est n-connexe, il existe une homotopie H : (D q , S q−1 ) × I →
(X, A) de σ ′ vers une application de D q dans A. On peut maintenant poser
P(σ) = H ◦ h −1 .
Finalement pour q > n un q-simplexe appartient à S (n) (X, A, x 0 ) seulement si tous
ses côtés y appartiennent. De nouveau : Si σ ∈ S (n) (X, A, x 0 ) alors on pose P(σ)(u, t) =
σ(u). Sinon on définit de nouveau P(σ) sur (∆ q × {0}) ∪ ( ˙∆ q × I) par les conditions (1)
et (3). Grâce au fait que (∆ q , ˙∆ q ) a la PEH, on peut conclure.
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LEMME 4.9.
L’inclusion J : S (n) (X, A, x 0 ) ↩→ S(X, A) est une équivalence d’homotopie.
DÉMONSTRATION. Par le lemme précédent on définit
T : S(X, A) → S (n) (X, A, x 0 )
σ ↦→ ˜σ.
Par (2) T ◦ J = Id S (n) (X,A,x 0 ). Le prisme ∆ q × I peut être découpé en (q + 1)-simplexes.
Autrement dit il est une chaîne z q+1 dont le bord est base et dessus du prisme et
le bord du simplexe multiplié par I. On note e ′ 0 , . . . , e′ q les sommets de la base et
e ′′
0 , . . . , e′′ q les sommets du dessus. Ainsi
On y applique P(σ) :
〈
e
′
0 . . . 〉 〈 e′ q − e
′′
0 . . . 〉 e′′ q = ∂zq+1 +
q∑
(−1) i (δ i q−1 × Id I) • (z q ).
i=0
JT(σ) − σ = ˜σ − σ = ∂P(σ) • z q+1 +
q∑
(−1) i P(σ)(δ i q−1 × Id I) • z q .
i=0
Autrement dit :
est une homotopie de JT vers l’identité :
σ ↦→ P(σ)z q+1
JT ≃ Id S(X,A)
Ceci termine la preuve du lemme et montre directement 4.7.
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