Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

170 15. HOMOLOGIE SINGULIÈRE
Pour prouver ce théorème, nous auront besoin de deux lemmes techniques. Le
premier nous assure que l’homomorphisme induit commute avec l’opérateur de
bord et le deuxième nous assure que cet homomorphisme envoie les n-cycles de X
sur des n-cycles de Y et de même, envoie les n-bords de X sur des n-bords de Y.
LEMME 15.18.
Si f : X −→ Y est une application continue entre deux espaces topologiques, alors
∂ n f n−1
#
= f n # ∂ n pour tout n ∈ N. En d’autres termes, le diagramme suivant commute :
S n (X)
f n #
S n (Y)
∂ n
∂ n
S n−1 (X)
f n−1
#
S n−1 (Y)
DÉMONSTRATION. Il suffit de vérifier l’assertion sur les générateurs de S n (X).
Soit donc σ un n-simplexe dans X, alors
∑
f n−1
#
∂ n T = f n−1
#
( (−1) i TF n i )
i
∑
= (−1) i f n−1
#
(TF n i )
i
∑
= (−1) i ( f ◦ T)F n i
i
= ∂ n ( f ◦ T) = ∂ n f n−1
#
T
Ainsi ∂ n f n−1
#
= f n # ∂ n. □
LEMME 15.19.
Si f : X −→ Y est une application continue entre deux espaces topologiques, alors pour
tout n ∈ N on a,
f n # (Z n(X)) ⊂ Z n (Y) et f n # (B n(X)) ⊂ B n (Y) .
DÉMONSTRATION. Soit z ∈ Z n (X) est un n-cycle, alors ∂ n (z) = 0. Donc par le
lemme précédent ∂ n f n−1 (z) = f n # # ∂ n(z) = f n n−1
(0) = 0. D’où f (z) ∈ ker ∂
# # n = Z n (Y).
Ceci valant pour tout n-cycle de X, on a f n # (Z n(X)) ⊂ Z n (Y).
Soit b ∈ B n (X) un n-bord, alors il existe c ∈ S n+1 (X) tel que b = ∂ n+1 (c). Par
conséquent,
D’où f n # (B n(X)) ⊂ B n (Y).
f n # (b) = f n # ∂ n+1(c) = ∂ n+1 f n+1
#
(c) ∈ Im ∂ n+1 = B n (Y) .
□
PREUVE DU THÉORÈME 15.17. Nous avons déjà défini H n sur les objets X de Top
comme
H n (X) = Z n (X)/B n (X) .