Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

5. ALGÈBRE DE HOPF DE L’HOMOLOGIE D’UN H-ESPACE 199
Dans la catégorie des espaces topologiques pointés, nous avons le diagramme
commutatif suivant :
X
∆
X × X
∆
X × X
∆×1
1×∆
X × X × X
Ainsi on obtient comme conséquence de la naturalité du foncteur d’homologie
H ∗ (−; K) la commuativité du diagramme suivant :
H ∗ (X; K)
∆ H∗
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
∆ H∗
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
1×∆ H∗
∆ H∗ ×1
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
De ce fait ∆ H∗ : H ∗ (X; K) −→ H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K) est une application coassociative.
Nous avons vu au chapitre 2 que H ∗ ({∗}) Z. Après application du foncteur K ⊗ −
sur le complexe singulier comme décrit ci-dessus, cet isomorphisme devient :
H ∗ ({∗}, K) K .
Alors si ε : X −→ {∗} est l’application pointée constante, elle induit en homologie
l’application
qui induit le morphisme de K-modules
ε ∗ : H ∗ (X; K) −→ H ∗ ({∗}, K)
ε ′ ∗ : H ∗ (X; K) −→ H ∗ ({∗}, K)
Alors le diagramme suivant commute :
−→ K .
ε
K ⊗ H ∗ (X; K) ′ ∗⊗1
1⊗ε
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
′ ∗
H ∗ (X; K) ⊗ K
∆ H∗
H ∗ (X; K)
On conclut que ∆ H∗ est une comultiplication sur H ∗ (X; K) et ε ′ ∗ une counité sur
H ∗ (X; K). Par conséquent (H ∗ (X; K), ∆ H∗ , ε ′ ∗) est une K-coalgèbre.
STRUCTURE D’ALGÈBRE SUR L’HOMOLOGIE D’UN H-ESPACE.
Supposons maintenant de plus que X est un H-espace associatif. Alors il existe
une application continue pointée µ : X × X −→ X telle que les deux diagrammes