Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

38 3. LES GROUPES D’HOMOTOPIE
(4) γ · 0 = w n (0). Prenons pour 0 le représentant constant c. Mais (c ∨ w −1 ) ◦ µ n
est une application S n → S n ∨ I → {∗} ∨ I → X et toute image de I (à une
extremité fixée) est homotope à 0. Ainsi [(c ∨ w −1 ) ◦ µ n ] = 0 et γ · 0 = 0.
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DÉFINITION 3.20.
L’espace topologique X est appelé n-simple si pour tout γ ∈ π 1 (X, x 0 ) et pour tout
[ϕ] ∈ π n (X, x 0 ) on a γ · [ϕ] = [ϕ].
Une construction analogue se fait pour les groupes d’homotopie relatifs. Pour
un chemin w dans A de x 0 à x 1 on note encore :
w n : π n (X, A, x 1 ) → π n (X, A, x 0 ).
Les résultats sont analogues, en particulier sont π n (X, A, x 0 ) π n (X, A, x 1 ) pour
tout x 0 , x 1 ∈ A si A est connexe par arcs. Et on a de nouveau les propriétés (1)-(4)
de 3.19.
THÉORÈME 3.21.
Pour n ≥ 2 et [ϕ] ∈ π n (X, A, x 0 ) on a [ϕ] = 0 si et seulement s’il existe une homotopie
H : (D n , S n−1 ) × I → (X, A) tel que H(−, 0) = ϕ et H(D n , 1) ⊂ A.
REMARQUE 3.22.
On n’exige pour cette homotopie pas que l’image du point de base reste fixe.
DÉMONSTRATION. Si [ϕ] = 0 alors il existe une telle homotopie H (qui en
plus fixe le point de base). Supposons maintenant qu’il existe une homotopie
H : (D n , S n−1 ) × I → (X, A) tel que H(−, 0) = ϕ et H(D n , 1) ⊂ A. Puisque H(D n , 1)
est contractile il existe même une homotopie K : (D n , S n−1 ) × I → (X, A) tel que
K(−, 0) = ϕ et K(D n , 1) = x 0 . Soit w le chemin défini par w(t) = K(∗, t). Ainsi ϕ
est w-homotopes à l’application constante, autrement dit [ϕ] = w n (0) = γ · 0 si
γ = [w] ∈ π 1 (X, A, x 0 ). Mais γ · 0 = 0
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En regardant la définition de n-connexité on a directement le corollaire suivant.
COROLLAIRE 3.23.
Pour n ≥ 2 une paire d’espaces (X, A) est n-simple si et seulement si (X, A) est 1-connexe
et si π q (X, A, x 0 ) = 0 pour tout x 0 ∈ A et pour tout 1 ≤ q ≤ n.
On aimerait maintenant faire un lien entre les groupes d’homotopie absolue
et les groupes d’homotopie relative. Pour le cas où le sous-espace A contient que
le point de base x 0 il semblerait que les applications (D n , S n−1 , ∗) → (X, x 0 , x 0 ) et les
applications (S n , ∗) → (X, x 0 ) sont les mêmes puisque D n /S n−1 est homéomorphe
à S n . À homotopie près il existent deux homéomorphismes. On appelle λ n celui