Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

1. AXIOMES POUR UNE THÉORIE D’HOMOLOGIE 93
Ainsi φ ∗ = γ ′−1
∗ ◦ γ ∗ est un isomorphisme donc φ est une équivalence faible et
donc une équivalence d’homotopie. On en tire que H q (ΓX, ΓA) H q (Γ ′ X, Γ ′ A).
Analoguement on montre que H q (Γ f ) = H q (Γ ′ f ).
On va maintenant construire une théorie d’homologie sur les CW-complexes.
On pose G = Z et on note H q (X, A; Z) = H q (X, A). Dans ce paragraphe toute
construction sera non réduite. Donné un CW-complexe X on construit un complexe
de chaînes C ∗ (X) dont les modules C n (X) sont les groupes abéliens libres de base
les n-cellules de X. On va définir les applications d n : C n (X) → C n+1 (X) de deux
façons différentes. Pour le faire on a besoin de quelques préliminaires.
Soit f : S n1 → S n1 une application continue et f ∗ : π n (S n ) → π n (S n ) l’homomorphisme
induit. Comme π n (S n ) Z on a que f ∗ (n) = n f ∗ (1), on appelle f ∗ (1) le
degré de f. On a que S n D n /S n−1 ΣS n−1 . Fixons les homéomorphismes suivants :
v n : D n /S n−1 → S n
(tx 1 , ..., tx n ) ↦→ ( √ 1 − (2t − 1) 2 x 1 , ..., √ 1 − (2t − 1) 2 x n , 2t − 1)
où t ∈ I et x ∈ S n−1 , ainsi v n envoie le rayon qui relie 0 à x vers la longitude passant
par (x,0) ;
et
⎛
(x 1 , ..., x n+1 ) ↦→
⎜⎝
i n : S n → ΣS n−1
1
√
Σ n i=1 x2 i
x 1 , ...,
( )
1 xn+1 + 1
√ x n ∧
⎞⎟
Σ n ⎠ 2
i=1 x2 i
τ n : (D n , S n−1 ) → (CS n−1 , S n−1 )
(tx 1 , ..., tx n ) ↦→ (x 1 , ..., x n ) ∧ (1 − t)
On note également τ n pour l’homéomorphisme induit D n /S n−1 CS n−1 /S n−1 =
ΣS n−1 .
LEMME 8.6.
Le diagramme suivant est homotopiquement commumtatif :
D n ∪ S n−1 CS n−1 q
ψ
ΣS n−1
D n /S n−1 v n
S n i n
où ψ est l’équivalence d’homotopie donnée au lemme 5.12 et q est la projection dans le
quotient.