Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

5. AXIOME D’HOMOTOPIE 177
En effet, puisqu’il n’existe qu’un seul 0-simplexe, nommément d : ∆ 0 −→ ∆ 0 ,
e 0 ↦→ e 0 , il suffit d’évaluer chaque composante du diagramme en d :
P X 0 ◦ T0 # (d) = PX 0 (T ◦ d) = PX 0 (T) : ∆1 −→ X × I
(1 − t)e 0 + te 1 ↦−→ (T(e 0 ), t)
et
(T × 1) 1 # ◦ P∆0 0 (d) : ∆1 −→ X × I
(1 − t)e 0 + te 1 ↦−→ (T × 1) 1 # (d(e 0), t) = (T × 1) 1 # (e 0, t) = (T(e 0 ), t)
D’où la commutativité du diagramme.
Cas n>0.
Renforçons l’hypothèse de récurrence en supposant maintenant que (1) et la conditions
de naturalité ci-dessus sont satisfaites pour les entiers plus petits que n et
montrons qu’elles restent valables pour n.
Commençons par remarquer que si la condition (1) est satisfaite, alors
(λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−1 ∂ n)(c)
est un n-cycle de ∆ n × I pour tout élément c ∈ S n (X) puisque
∂ n (λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−1 ∂ n) = λ ∆n
1 #∂ n − λ ∆n
0 #∂ n − ∂ n P ∆n
n−1 ∂ n
= λ ∆n
1 #∂ n − λ ∆n
0 #∂ n − (λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−2 ∂ n−1)∂ n
= P ∆n
n−2 ∂ n−1∂ n
}{{}
= 0
0
par induction
Notons d = id ∆ n ∈ S n (∆ n ). Vu ce qui précède,
(λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−1 ∂ n)(d) ∈ Z n (∆ n × I)
Or on peut montrer que, étant donné que ∆ n × I est un sous-ensemble borné
et convexe de R n+2 , son n-ième groupe d’homologie est trivial.(Admis ici, sans
démonstration.) Ainsi B n (∆ n × I) = Z n (∆ n × I). Par conséquent, il existe b n+1 ∈
S n+1 (∆ n × I) tel que
Définissons alors
∂ n+1 (b n+1 ) = λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−1 ∂ n)(d) .
P X n : S n (X) −→ S n+1 (X × I)
T ↦−→ (T × 1) # (b n+1 )
où T est un n-simplexe dans X et on étend par linéarité.
Remarquons que (T × 1)λ ∆n (a) = (T × 1)(a, i) = (T(a), i) = λ X i
i (a) pour tout a ∈ ∆n , par
conséquent
(2) (T × 1)λ ∆n
i
= λ X i T