Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

72 6. LES CW-COMPLEXES
LEMME 6.19.
Soit (X,A) un CW-complexe relatif de dimension inférieure ou égale à n et e : Y → Z une
n-équivalence. Soient f : X → Y, g : A → Y et h : A × I → Z trois applications avec
f | A = h ◦ i 0 et e ◦ g = h ◦ i 1 . Il existe alors deux applications ˜g : X → Y et ˜h : X × I → Z
faisant commuter le diagramme suivant :
A
i 0
h
A × I
i 1
g
A
e
Z
f
˜h
X
X × I
i 0
Y ˜g
X
i 1
DÉMONSTRATION. Sans preuve. (Si (X, A) = (D n , S n−1 ) (CS n , S n−1 ) c’est le
lemme 5.15, sinon on procède par induction sur les squelettes en appliquant le
cas (D n , S n−1 ) sur les n-cellules de X qui ne sont pas dans A).
□
REMARQUE 6.20.
Si on choisit e = id Y : Y → Y on observe que le diagramme signifie exactement que
la paire (X,A) vérifie la propriété d’extension d’homotopie et donc que l’inclusion
i : A → X est une cofibration. De plus le lemme est vrai même pour n = ∞.
COROLLAIRE 6.21.
Soit X un CW-complexe et n un entier. La paire (X, X n ) vérifie la PEH et donc X n → X
est une cofibration.
THÉORÈME 6.22.
Soit X un CW-complexe et e : Y → Z une n-équivalence. On a alors que l’application
e ∗ : [X, Y] → [X, Z] est une bijection si dimX < n et une surjection si dimX = n.
DÉMONSTRATION. Soit [ f ] ∈ [X, Z] et appliquons le lemme 6.19 à la paire (X, ∅) :
Z
f
˜h
X
X × I
i 0
e
Y ˜g
X
i 1
Ainsi il existe ˜g : X → Y avec e ∗ ( ˜g) = e ◦ ˜g = ˜h ◦ i 1 ≃ ˜h ◦ i 0 = f et donc e ∗ est un
surjection.