Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

1. LES GROUPES D’HOMOTOPIE 33
En appliquant le foncteur d’homologie on obtient
H n (D n , S n−1 )
ρ ∗
H n (D n , S n−1 ) ⊕ H n (D n , S n−1 )
Il reste à calculer
j −1
∗ k ∗
(S n , ∗)
ρ ∗
ρ ∗ (α n ) = ρ ∗ j −1
∗ k ∗ (β n )
(j −1
∗ k ∗ ⊕j −1
∗ k ∗ )
H n (S n , ∗) ⊕ H n (S n , ∗).
= (j −1
∗ k ∗ ⊕ j −1
∗ k ∗ )ρ ∗ (β n )
= (j −1
∗ k ∗ ⊕ j −1
∗ k ∗ )(β ′ n + β ′′
n )
= α ′ n + α ′′
n .
Pour terminer la preuve il suffit maintenant de montrer que si la proposition est
vérifiée pour α n , elle l’est aussi pour β n+1 . Comme avant on trouve un diagramme
commutatif et on obtient
H n (S n , ∗)
∂ −1
∗
H n+1 (D n+1 , S n )
ρ ∗
H n (S n , ∗) ⊕ H n (S n , ∗)
(∂ −1
∗ ⊕∂ −1
∗ )
ρ ∗
H n+1 (D n+1 , S n ) ⊕ H n+1 (D n+1 , S n ).
Et un même calcul montre que ρ ∗ (β n+1 ) = β ′ n+1 + β′′ n+1 . □
Maintenant on peut définir les groupes d’homotopie d’un espace topologique :
DÉFINITION 3.5.
Soit (X, x 0 ) un espace topologique pointé et soit n ≥ 2. Alors on défini le n-ème
groupe d’homotopie de (X, x 0 ) par
π n (X, x 0 ) = [(S n , ∗), (X, x 0 )] .
Ses éléments sont les classes d’homotopie
[ϕ] = { ϕ ′ ∣ ∣ ∣ ϕ ′ ≃ ϕ : (S n , ∗) → (X, x 0 ) }
où ϕ : (S n , ∗) → (X, x 0 ) est une application continue qui conserve le point de base.
Pour [ϕ], [ψ] ∈ π n (X, x 0 ) on défini leur somme par
C’est la classe d’une application
[ϕ] + [ψ] = [(ϕ ∨ ψ) ◦ ρ].
S n
ρ
S n 1 ∨ Sn 2
(ϕ∨ψ)
X.
REMARQUE 3.6.
On ne va pas prouver que c’est un groupe ni que ce groupe est abélien pour n ≥ 2
et que la somme est bien définie et indépendante du choix du représentant. Cette
preuve, comme la preuve pour la proposition suivante, se trouvent par exemple
dans [19].