Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

6. LE THÉORÈME D’HUREWICZ DE RANG 1 179
COROLLAIRE 15.30.
Si X est un espace topologique contractile, alors pour tout n > 0 on a
H n (X) = 0 .
DÉMONSTRATION. Si X est contractile, X est équivalent à homotopie près au
singleton {∗}. Le corollaire ci-dessus entraîne alors que H n (X) H n ({∗}) = 0 pour
tout n > 0, vu la proposition 15.22.
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6. Le théorème d’Hurewicz de rang 1
Cette section donne un lien entre le groupe fondamental et le premier groupe
d’homologie : ce dernier se trouve être l’abélianisé du groupe fondamental.
Dans toute cette section, X désignera un espace topologique et x 0 un point de base
de X.
DÉFINITION 15.31.
Soit m : ∆ 1 −→ I l’homéomorphisme définit par (1 − t)e 0 + te 1 ↦→ t. On appellera
alors application d’Hurewicz, l’application suivante :
φ : π 1 (X, x 0 ) −→ H 1 (X)
[ f ] ↦−→ f m
où f : I −→ X est un lacet dans X, i.e. f (0) = f (1) = x 0 .
Nous allons voir dans les deux résultats suivants que cette application est non
seulement bien-définie, mais qu’il s’agit aussi d’un homomorphisme.
LEMME 15.32.
L’application d’Hurewicz est bien-définie.
DÉMONSTRATION. Certainement f m : ∆ 1 −→ I −→ X est un 1-simplexe. Regardons
qu’il s’agit d’un 1-cycle :
∂ 1 ( f m)(1) = [
1∑
(−1) i f mF 1 i ](1) = f m(e 1) − f m(e 0 ) = f (1) − f (0) = 0
i=0
puisque f est un lacet dans X.
Ainsi f m ∈ Z 1 (X) est un 1-cycle et donc f m est bien un élément de H 1 (X).
Notons u : I −→ S 1 l’application définie par t ↦→ e 2πit alors il existe une application
continue f ˜ : S 1 −→ X telle que f ˜ ◦ u = f par la propriété universelle du quotient.
Alors l’application f ˜ induit un homomorphisme
H 1 ( f ˜ ) : H 1 (S 1 ) −→ H 1 (X)
∑
i n i T i ↦−→ f ˜ # ( ∑ i n i T i ) = ∑ i n i ( f ˜ ◦ T i ) .