Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

5. ALGÈBRE DE HOPF DE L’HOMOLOGIE D’UN H-ESPACE 201
Dans la catégorie des espaces topologiques pointés, le diagramme
X × X
µ
X
∆
X × X
∆×∆
µ×µ
X × X × X × X
1×τ×1
X × X × X × X
où τ : X×X −→ X×X, (x, y) ↦→ (y, x), est clairement commutatif. Or comme H ∗ (X; K)
est considéré sans torsion, le théorème de Künneth nous fournit un isomorphisme
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K) H ∗ (X × X; K)
qui est de plus naturel. (Voir [18]). Alors en conséquence de cette naturalité, on
obtient la commutativité du diagramme
H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X)
∆ H∗ ⊗∆ H∗
H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X)
µ H∗
H ∗ (X)
1⊗T⊗1
∆ H∗
H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X)
µ H∗ ⊗µ H∗
H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X)
où H ∗ (X) = H ∗ (X; K). Or nous avons vu que la commutativité de ce diagramme est
équivalente à la condition (3) de la définition d’algèbre de Hopf.
REMARQUE 17.19.
Dans le chapitre suivant, nous allons nous intéresser à l’homologie d’un espace
de lacets. Rappelons alors que tout espace de lacets est un H-espace associatif.
En effet, l’ensemble [S 1 , Y] étant le groupe fondamental de l’espace Y, il est munit
d’une structure de groupe pour tout espace Y. Ainsi S 1 est un co-H-groupe, ce qui
entraîne que F(S 1 , Y) est un H-groupe pour tout espace Y. Par conséquent, l’espace
des lacets de Y qui est exactement F(S 1 , Y) est en particulier un H-espace associatif.
On peut donc sans autre munir l’homologie d’un espace de lacets d’une structure
d’algèbre de Hopf.