Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

16 1. OUTILS ALGÉBRIQUES
DÉFINITION 1.12.
Soient C = (C q , ∂ q ) q∈Z et C ′ = (C ′ q, ∂ ′ q) q∈Z deux complexes de chaîne. Un morphisme
de chaînes (de degré 0) f : C → C ′ est un système ( f q ) q∈Z d’homomorphismes
f q : C q → C ′ q tel que ∂ ′ q ◦ f q = f q−1 ◦ ∂ q . Souvent on écrit f au lieu de f q . Un
morphisme de chaîne peut être caractérisé par son diagramme commutatif
C :
. . .
∂
C q+1
∂
C q
∂
C q−1
∂
. . .
f
C ′ : . . .
∂ ′ C ′ q+1
f
∂ ′
f
C ′ q
∂ ′
f
C ′ q−1
∂ ′ . . . .
PROPOSITION-DÉFINITION 1.13.
Tout morphisme de chaînes f : C → C ′ envoie des cycles sur des cycles et des bords sur des
bords. Donc f induit un homomorphisme f ∗ = H( f ) avec H q ( f ) : H q (C) → H q (C ′ ) donné
par [c] C ↦→ [ f (c)] C ′.
DÉMONSTRATION. Soit c ∈ C q un cycle. Alors ∂ f q (c) = f q−1 (∂c) = f q−1 (0) = 0.
Donc f (c) est un cycle. Soit c = ∂d ∈ C q un bord. Alors f q (c) = f q (∂d) = ∂ f q+1 (d).
Donc f (c) est un bord.
□
REMARQUE 1.14.
(1) L’application 0 : C → C ′ est un morphisme de chaînes et 0 ∗ = 0.
(2) L’identité Id : C → C (c’est-à-dire f q = Id Cq pour tout q) est un morphisme
de chaînes. De plus Id ∗ : H q (C) → H q (C) est encore l’identité.
(3) On peut composer deux morphismes de chaînes f : C → C ′ et g : C ′ → C ′′
en un morphisme de chaînes g f : C → C ′′ en posant (g f ) q = g q f q . Ainsi
(g f ) ∗ = g ∗ f ∗ : H q (C) → H q (C ′′ ).
THÉORÈME-DÉFINITION 1.15.
Soient f, g : C → C ′ deux morphismes de chaînes. Une homotopie de chaînes de f vers
g est un système (h q ) q∈Z d’homomorphismes h q : C q → C ′ tel que
q+1
∂ ′ q+1 h q + h q−1 ∂ q = f q − g q .
Pour simplifier la notation on va souvent écrire
∂ ′ h + h∂ = f − g.
Si une telle homotopie existe on écrit f ≃ g et on dit que f et g sont homotopes.
Dans l’ensemble des morphismes de chaînes (de degré 0) Hom 0 (C, C ′ ) ≃ est une relation
d’équivalence.
DÉMONSTRATION. On montre que ≃ est reflexive, symétrique et transitive.
Reflexivité: Soit f : C → C ′ un morphisme de chaînes. Pour l’homotopie de
chaînes h de f vers f cherchée on peut choisir h q = 0 : C q → C ′ q+1 . Ainsi
on obtient : ∂ ′ h + h∂ = 0 = f − f .