Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

74 6. LES CW-COMPLEXES
LEMME 6.26.
Un CW-complexe relatif (X,A) sans m-cellules pour tout m n est n-connexe. En particulier
(X, X n ) est n-connexe.
DÉMONSTRATION. Soit f : (I q , ∂I q , ⋆) → (X, A, ⋆) avec q n. Comme f (I q ) est
compact on peut supposer que (X,A) a un nombre fini z de cellules. Si z=1 alors
X = A ∪ j D r avec r¿q vu que r¿n et q n ainsi il existe une application f ′ : I q → X
avec f | ∂I q = f ′ | ∂I q, f ≃ ∂I q f ′ et telle que f ′ (I q ) ne recouvre pas completement D r .
Ce résultat n’est pas trivial et il est admit sans preuve. On en déduit que f’ se
déforme en una application entièrment contenue dans A et donc [ f ] = [ f ′] = 0
dans π q (X, A, a).
Si on suppose le résultat vrai pour z¡s cellules on le prouve alors de façon
analogue pour le cas à s cellules. Ce qui conclut l’induction et achève la preuve. □
COROLLAIRE 6.27.
Si X est un CW-complexe alors π k (X) π k (X n ) pour tout k < n.
DÉMONSTRATION. Le fait que l’inclusion i : X n → X est une n-équivalence
(puisque (X, X n ) est n-connexe par lemme ci-dessus) et dimS k = k permet directement
de conclure que [ S k , X n] [ S k , X ] .
□
THÉORÈME 6.28.
Toute application f : (X, A) → (Y, B) entre CW-complexes relatifs est homotope relativement
à A à une application cellulaire.
DÉMONSTRATION. On procède par induction sur les squelettes. Pour n=0 rappelon
que X 0 = A ∐ X ∗ où X ∗ est un espace discret. Clairement pour tout point y
de Y il existe un chemin g y de y vers un certain y 0 ∈ Y 0 . Posons :
H : X 0 × I = A × I ∐ X ∗ × I → Y; (a, t) ↦→ f (a); (x ∗ , t) ↦→ g f (x ∗ )(t)
H est continue sur A × I puisque f l’est et H est aussi continue sur X ∗ × I puisque
les g f (x ∗ ) sont continues et H −1 (U) ∩ (X ∗ × I) = ∪ x ∗ ∈X ∗ {x∗ } × g −1 (U) est un ouvert si
f (x ∗ )
U est un ouvert de Y vu que X ∗ est discret. Ainsi H est une homotopiede f | X 0 vers
une application cellulaire.
Supposons donnée une application cellulaire g n : X n → Y n et une homotopie
h n : X n × I → Y avec f | X n ≃ i n ◦ g n où i n est l’inclusion de Y n dans Y. On vient
de montrer que la paire (Y, Y n+1 ) est (n+1)-connexe, c’est-à-dire que l’inclusion
i n+1 : Y n+1 → Y est une (n+1)-équivalence et donc on peut appliquer le lemme 6.19