Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

3. ACTION DU GROUPE FONDAMENTAL EN HOMOTOPIE 35
3. Action du groupe fondamental en homotopie
Dans cette section on va définir une action du groupe π 1 (X, x 0 ) sur les groupes
d’homotopie de (X, x 0 ) respectivement (X, A, x 0 ). Tout d’abord on va construire
cette action. Certaines preuves sont omises.
On sait que S n ∨I est un rétracte par déformation forte de S n ×I. Soit r : S n ×I →
S n ∨ I une telle rétraction. On définit µ n : S n → S n ∨ I par µ n (x) = r(x, 1). Soit ∗ le
point de base de S n alors clairement µ n (∗) = (∗, 1). µ n est uniquement déterminé à
homotopie rel ∗ près. Soit maintenant w : I → X un chemin de x 0 à x 1 et ϕ : S n → X
une application qui envoit le point de base ∗ sur x 1 . Alors la composition
S n µ n
S n ∨ I
(ϕ∨w −1 )
X
envoit le point de base sur x 0 . On peut ainsi définir :
DÉFINITION 3.11.
Pour un chemin w : I → X de x 0 vers x 1 soit
w n : π n (X, x 1 ) → π n (X, x 0 )
donné par
w n ([ϕ]) ↦→ [(ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n ]
DÉFINITION 3.12.
Pour un chemin w : I → X de x 0 vers x 1 deux applications ψ(S n , ∗) → (X, x 0 ) et
ϕ(S n , ∗) → (X, x 1 ) sont appelées w-homotopes s’il existe une homotopie H : S n ×I →
X de ϕ vers ψ tel que H(∗, t) parcourt le chemin w.
LEMME 3.13.
(1) (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n et ϕ sont w-homotopes.
(2) Si ψ est w-homotope à ϕ alors ψ ≃ (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n rel ∗.
DÉMONSTRATION. Posons K(x, t) = ((ϕ ∨ w −1 ) ◦ r)(x, 1 − t) où r est le rétracte
défini au début du paragraphe. Alors
K(x, 0) = (ϕ ∨ w −1 )(r(x, 1)) = (ϕ ∨ w −1 )(µ n (x))
K(x, 1) = (ϕ ∨ w −1 )(r(x, 0)) = (ϕ ∨ w −1 )(x, 0) = ϕ(x)
K(∗, t) = (ϕ ∨ w −1 )(r(∗, 1 − t))(ϕ ∨ w −1 )(∗, 1 − t)
= w −1 (1 − t) = w(t)
et K est l’homotopie cherchée pour (1). Reprenons K et soit H une homotopie de ψ
vers ϕ. On note i 0 : S n → S n × I, x ↦→ (x, 0) et i l’inclusion dans S n × I. On constate
que
Ki 0 = (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n et Hi 0 = ψ.