Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

28 2. LES GROUPES D’HOMOLOGIE D’UN ESPACE TOPOLOGIQUE
De même on peut calculer les groupes d’homologie des paires d’espaces
(D n , S n−1 ) :
THÉORÈME 2.28.
Pour tout n ≥ 1 on a
H q (D n , S n−1 )
{
Z pour q = n ou q = 0,
0 pour q n et q 0.
DÉMONSTRATION. D’après 2.16 on a une suite exacte
H q+1 (D n+1 ) H q+1 (D n+1 , S n )
∂ ∗
H q (S n ) H q (D n+1 )
où ∂ ∗ est un isomorphisme car D n+1 est contractile et donc les deux bouts de la
suite sont nuls. Par le théorème précédent on a le résultat voulu.
□
Ainsi pour tout n ≥ 0 les groupes H n (S n ) resp. H n (D n , S n−1 ) sont générés par un
élément α n resp. β n . On va maintenant construire ces générateurs récursivement.
On pose de nouveau S n = D n + ∪ Dn − . Alors on a les isomorphismes suivants :
H n−1 (S n−1 ∂
) ∗
H n (D n + , Sn−1 )
k ∗
H n (S n , D n − ) j
∗
H n(S n )
Ici ∂ ∗ est donné par le théorème qui précède, j ∗ sort de la longue suite en homologie
associée à la paire (S n , D n − ) et k ∗ est un isomorphisme d’excision qui existe grâce à
2.21 puisque D n + /Sn−1 ≈ S n /D n − .
DÉFINITION 2.29.
L’orientation standard α n ∈ H n (S n ) et β n ∈ H n (D n , S n−1 ) est défini par récurrence
comme suit :
Pour n = 1 le générateur β 1 est la classe d’homologie représenté par le simplexe
singulier donné par ∆ 1 → D 1 , (1−t)e 0 +te 1 ↦→ 2t−1. Ensuite on défini récursivement :
et
α n = j −1
∗ k ∗ (β n )
β n = ∂ −1
∗ (α n−1 ).
THÉORÈME 2.30.
Soit ∨S n un bouquet de n-sphères avec n ≥ 1 et j ∈ J. Alors H
j q (∨S n ) = 0 pour q n et
j
H n (∨S n j ) est un groupe abélien libre. Pour i j : S n → S n une injection de S n sur la sphère
j
S n alors (i
j j∗ (α n )) j∈J forme une base de H n (∨S n j ).
DÉMONSTRATION. D’après le théorème 2.22 et en utilisant le résultat de 2.27 on
a pour q n
⊕ ⊕
H q (∨S n j ) = H q (S n j ) = 0 = 0.
j∈J
j∈J