Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

24 2. LES GROUPES D’HOMOLOGIE D’UN ESPACE TOPOLOGIQUE
THÉORÈME-DÉFINITION 2.16.
Pour toute paire d’espaces (X, A) on a la suite en homologie associée
. . .
j ∗
H q+1 (X, A)
∂ ∗
H q (A)
i ∗
H q (X)
j ∗
H q (X, A)
∂ ∗
. . . .
Les applications i ∗ et j ∗ sont les applications induites par les injections i : A ↩→ X et
j : (X, ∅) ↩→ (X, A). L’application ∂ ∗ : H q+1 (X, A) → H q (A) est donnée par ∂ ∗ ([z] (X,A) ) =
[∂z] A .
DÉMONSTRATION. On considère la courte suite
0 S(A)
i •
S(X)
j •
S(X, A) 0 .
Cette suite est exacte en S(A) et en S(X, A) car i • : S q (A) → S q (X) est injective
et j • : S q (X) → S q (X, A) est surjective. De plus elle est exacte en S(X) puisque
Im i • = S q (A) = Ker j • . On applique le lemme 1.18 pour obtenir la longue suite
exacte en homologie qu’on cherche.
□
EXEMPLE 2.17.
Si on prend une paire d’espaces (X, x 0 ) où x 0 ∈ X est un point, alors la longue suite
exacte en homologie est
. . .
j ∗
H q+1 (X, x 0 )
∂ ∗
0
i ∗
H q (X)
j ∗
H q (X, x 0 )
∂ ∗
0
i ∗
. . . .
Parce que H q (x 0 ) = 0 pour q 0 d’après 2.10. Donc H q (X, x 0 ) H q (X) pour q 0.
Pour n = 0 l’inclusion i ∗ : H 0 (x 0 ) → H 0 (X) est injective car H 0 (X) est un groupe
abélien libre engendré par les classes [y k ] où chaque y k est dans une composante
connexe de X. On a ainsi une courte suite exacte
0 H 0 (x 0 )
i ∗
H 0 (X)
j ∗
H 0 (X, x 0 ) 0.
3. Le théorème d’homotopie
THÉORÈME 2.18.
Soient f, g : X → Y deux fonctions continues. Si f ≃ g alors f ∗ = g ∗ : H q (X) → H q (Y).
Pour faire la preuve de ce théorème très important il nous faut d’abord un
lemme. On ne va pas prouver ce lemme ici. Une preuve complète se trouve sur la
page 171 de [15].
LEMME 2.19.
Pour tout espace topologique X et pour tout entier q il existe un homomorphisme
avec les propriétés suivantes :
D X : S q (X) → S q+1 (X × I)