MÃ©thode de Monte Carlo. - UniversitÃ© du Maine

MÉTHODE DE MONTE CARLO. 

Alexandre Popier 

Université du Maine, Le Mans 

A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 1 / 95

PLAN DU COURS 

1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 

2 PROBLÈME DE SIMULATION 

Théorème fondamental 

Simulation de la loi uniforme 

Fonction de répartition 

Méthode d’inversion 

Cas particuliers 

Vérifications 

Méthode de rejet 

Lois gaussiennes 

3 RÉDUCTION DE VARIANCE 

Variables antithétiques 

Variables de contrôle 

Monte Carlo conditionnel 

Échantillonnage d’importance 

Échantillonnage stratifié 


BUT : CALCUL D’ESPÉRANCE. 

Soient X une v.a.r. et f : R → R une fonction. 

BUT 

Calculer numériquement E(f (X)). 

EXEMPLES 

FINANCE : prix d’une option d’achat 

◮ modèle de Cox-Ross-Rubinstein : 

⎡( 

1 

C = 

(1 + r) N E ⎣ S 0 

N 

∏ 

i=1 

T i − K 

) + 

⎤ 

P(T i = 1 + u) = p = 1 − P(T i = 1 + d) où p = (u − r)/(u − d). 

◮ modèle de Black-Scholes : 

[ ( ) ] + 

C = e −rT E S 0 e (r−σ2 /2)T +σW T 

− K avec W T ∼ N (0, T ). 

⎦ . 


BUT : CALCUL D’ESPÉRANCE. 

Soient X une v.a.r. et f : R → R une fonction. 

BUT 

Calculer numériquement E(f (X)). 

EXEMPLES 

FINANCE : prix d’une option d’achat 

ASSURANCE : calcul de la prime 

◮ Prime pure : E(X), 

◮ Prime exponentielle : 1 c ln E(ecX ), 

◮ Prime quantile : F 

−1 

(1 − ε), 

X 

CALCUL DE PERTE ou Value At Risk en finance : P(X < seuil). 

etc. 


PLAN 


















LOI DES GRANDS NOMBRES. 

THÉORÈME 

Soit (Y i ) i∈N une suite de variables aléatoires. 

HYPOTHÈSES 

indépendance 

distribution identique (comme une v.a. Y ) 

E(|Y |) < +∞. 

Alors presque sûrement : 

lim Y 1 

n = lim 

n→+∞ n→+∞ n (Y 1 + . . . + Y n ) = E(Y ). 

Autrement dit, pour n assez grand 

1 

n∑ 

Y i ≈ E(Y ). 

n 

i=1 


MÉTHODE DE MONTE CARLO. 

MÉTHODE 

Pour calculer µ = E(f (X)), 

simuler N v.a. (X n ) 1≤n≤N i.i.d. de même loi que X, 

poser : 

ˆµ N = 1 N 

N∑ 

i=1 

f (X i ) = f (X 1) + . . . + f (X N ) 

. 

N 

Loi des grands nombres : ˆµ N ≈ µ pour N grand. 

PROBLÈME : quelle est l’erreur commise 


LOI EXPONENTIELLE (2) (ESPÉRANCE 1/2) 


LOI DE PARETO (0,5) PAS D’ESPÉRANCE 


THÉORÈME CENTRAL LIMITE. 

THÉORÈME 

Soit (Y i ) i∈N une suite de v.a. 

HYPOTHÈSES 

indépendance 

distribution identique (comme une v.a. Y ) 

E(|Y | 2 ) < +∞. 

Alors Y n 

∼ = N (0, 1) : pour tout a < b 

( 

lim P a < √ ) 

n Y n − µ 



n→+∞ σ 


INTERVALLE DE CONFIANCE. 

TCL : µ = E(Y 1 ), Y n = 1 n (Y 1 + . . . + Y n ) 

P 

(Y n − a√ σ ≤ µ ≤ Y n + a σ ) ( 

√ = P −a ≤ √ ) 

n Y n − µ 

≤ a 

n n σ 

≈ 

P(|Z | ≤ a), 

où σ 2 = Var(f (X)). 

Pour un niveau de confiance α ∈ [0, 1] fixé, il existe c α > 0 tel que 

Donc avec a = c α , pour n grand 

avec 

P(|Z | ≤ c α ) = α. 

P (µ ∈ I α,n ) ≈ P(|Z | ≤ c α ) = α 

] 

σ σ 

I α,n = 

[Y n − c α √n , Y n + c α √n 

: intervalle de confiance. 


MÉTHODE DE MONTE CARLO : ERREUR. 

MÉTHODE 

Simuler N v.a. (X n ) 1≤n≤N i.i.d. de même loi que X. 

Poser : 

ˆµ N = 1 N 

N∑ 

i=1 

f (X i ) = f (X 1) + . . . + f (X N ) 

. 

N 

Erreur donnée par un intervalle de confiance : 

P ( µ ∈ I α,N 

) 

≈ α 

avec 

[ 

] 

σ 

σ 

I α,N = ˆµ N − c α √N , ˆµ N + c α √N , σ 2 = Var (f (x)). 

Problème : on ne connaît pas en général la variance σ 2 . 


ESTIMATION DE LA VARIANCE. 

On estime σ 2 grâce à l’estimateur Sn 2 = 1 

n − 1 

montrer que 

ES 2 n = σ 2 = Var(Y ) et 

n∑ 

(Y i − Y n ) 2 . On peut 

i=1 

lim 

n→+∞ S2 n = σ 2 . 

MÉTHODE 

Simuler N v.a. (X n ) 1≤n≤N i.i.d. de même loi que X. 

Poser : 

ˆσ N = √ 1 N∑ 

(f (X i ) − ˆµ N ) 

N − 1 

2 . 

i=1 


MÉTHODE DE MONTE CARLO COMPLÈTE. 

MÉTHODE 

1 Simuler N v.a. (X n ) 1≤n≤N i.i.d. de même loi que X. 

2 Poser : 

ˆµ N = 1 N∑ 

f (X i ) = f (X 1) + . . . + f (X N ) 

, 

N 

N 

i=1 

ˆσ N = √ 1 N∑ 

(f (X i ) − ˆµ N ) 

N − 1 

2 . 

3 Erreur donnée par intervalle de confiance avec niveau de 

confiance α 

[ 

] 

ˆσ N ˆσ 

I α,N = ˆµ N − c α √ N 

, ˆµ N + c α √ . 

N N 

i=1 


LOI EXPONENTIELLE (2) (ESPÉRANCE 1/2) 


LOI EXPONENTIELLE (2) (DÉCROISSANCE EN 1/ √ N) 


PARETO (1,5) (ESPÉRANCE 3, PAS DE VARIANCE) 


PARETO (1,5) (TAILLE INTERVALLE CONFIANCE) 


MÉTHODE DE MONTE CARLO : REMARQUES. 

OBLIGATOIRE 

Donner ˆµ N sans intervalle de confiance n’a aucune valeur ! 

ERREUR 

Pour diminuer la taille de IC, 

diminuer le niveau de confiance α, 

augmenter N, 

diminuer σ (−→ réduction de variance). 

AVANT : 

SIMULATION 

Que signifie « Simuler N v.a. (X n ) 1≤n≤N i.i.d. de même loi que X » 


PLAN 


















PLAN 


















THÉORÈME FONDAMENTAL DE LA SIMULATION. 

THÉORÈME 

Toute variable aléatoire X à valeurs dans R d peut être simulée sous la 

forme 

X = en loi 

f (U 1 , U 2 , . . . , U n ) 

où 

(U 1 , U 2 , . . . , U n ) est uniformément répartie sur [0, 1] n , 

la fonction f : R n → R d est borélienne et a ses points de 

discontinuité dans un ensemble Lebesgue-négligeable. 

Il est même possible de réaliser ceci en imposant n = 1 ou n = d ou 

encore n ≥ 1 donné. 

REMARQUE : f est « explicite ». 


PLAN 


















SUITES ALÉATOIRES. 

Considérons une suite finie x := x 1 , . . . , x n ∈ {0, 1}. Toutes les suites 

finies de ce type sont équiprobables et de probabilité 2 −n . 

Certaines suites moins aléatoires que d’autres 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 

1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1 

1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0 

Quel sens donner et comment quantifier le caractère aléatoire 

d’une suite finie ou infinie donnée 

Comment produire des suites finies qui sont de « bonnes » 

approximations finies des suites infinies probables correspondant 

à des réalisations i.i.d. d’une loi donnée Comment mesurer la 

qualité de ces algorithmes 


SUITES ALÉATOIRES. 

D.H. Lehmer (1951) : 

A random sequence is a vague notion... in which each term is 

unpredictable to the uninitiated and whose digits pass a certain 

number of tests traditional with statisticians... 


NOMBRES PSEUDO-ALÉATOIRES. 

Simuler la loi uniforme consistera à produire par un algorithme des 

suites finies de nombres que nous pouvons considérer comme autant 

de réalisations indépendantes de variables aléatoires uniformes sur 

[0, 1]. 

Mathématiquement les n sorties successives d’un tel générateur 

seront considérées comme la donnée de U 1 (ω), . . . , U n (ω) pour un 

ω ∈ Ω où les U i sont des v.a.r. U i : (Ω, F, P) → [0, 1] de loi uniforme. 

Matlab permet de simuler la loi uniforme via la fonction rand, qui 

renvoie un nombre « aléatoire » compris entre [0, 1]. 



Intéressons nous au nombre 

0, 950129285147175. 

C’est par défaut le premier nombre produit par la fonction rand de 

Matlab. 

Pour cela redémarrer Matlab, et exécuter les commandes 

✞ 

format long 

rand 

✝ 

Si tous les utilisateurs de Matlab trouvent toujours ce même nombre il 

ne peut être qualifié d’aléatoire. D’ailleurs il ne l’est pas. 

☎ 

✆ 



À ce stade il est important de faire la distinction entre deux types de 

méthodes de génération de suites « aléatoires ». 

Méthodes prédictibles : ce sont des méthodes déterministes 

basées entièrement sur des algorithmes bien établis qui 

nécessitent d’être initialisés. On parlera de suites ou nombres 

pseudo-aléatoires. 

Méthodes non-prédictibles : surtout utiles en cryptographie, où il 

est capital que le hasard utilisé ne soit pas prédictible ni 

reproductible. Elles peuvent être obtenues à partir des premières 

en utilisant des « fonctions de hachage », difficilement inversibles 

en terme de temps de calcul. 


ALGORITHMES PAR CONGRUENCE (LEHMER, 1950). 

utilisent trois paramètres entiers a, c et m et une valeur initiale x 0 , 

appelé seed ; 

créent une suite d’entiers y n+1 = ay n + c mod m compris entre 0 

et m ; 

ramènent les valeurs entre 0 et 1 : x n = y n /m. 

Exemple : a = 13, c = 0, m = 31 et x 0 = 1. Suite des y n : 

Celle des x n : 

1 13 14 27 10 6 16 22 7 29 5 3 . . . 

0.0323, 0.4194, 0.4516, 0.8710, 0.3226, 0.1935, 0.5161, . . . 



Dans les années 60, sur IBM, Scientific Subroutine Package (SSP) : 

a = 65539, c = 0, et m = 2 31 . 

Comme le codage se fait en 32-bits, l’arithmétique modulo 2 31 se 

fait très rapidement. 

a = 2 16 + 3 : multiplication par a = shift + addition. 

Problème : y k+2 = 6y k+1 − 9y k : très forte corrélation. 

cf. graphique randssp 



À partir de Matlab 4, on a choisi : a = 7 5 = 16807, c = 0, 

m = 2 31 − 1 = 2147483647. 

Toujours disponible via 

◮ s=rand(’seed’) : fournit le paramètre x0 de cette méthode. 

◮ rand(’seed’,s) : impose à Matlab d’utiliser cet algorithme avec 

x 0 = s. 

Périodicité grande : m − 1. 

Génére toutes les valeurs k/m avec k = 1, . . . , m, i.e. 

[0, 1] ≈ D r = {k/m, 1 ≤ k ≤ m} 

⊂ [0.00000000046566, 0.99999999953434]. 

cf. graphique randmcg 


ALGORITHME PAR DÉFAUT. 

À partir de la version 5 (1995), 

Du à G. Marsaglia. 

N’utilise plus les algorithmes à la Lehmer, plus de multiplication, 

plus de division. 

Génère directement des nombres décimaux. 

Disponible via 

◮ s=rand(’state’) : fournit le paramètre x0 de cette méthode 

(vecteur de dimension 35). 

◮ rand(’state’,s) : impose à Matlab d’utiliser cet algorithme 

avec x 0 = s. 

Peut générer tous les nombres (flottants) entre 2 −53 et 1 − 2 −53 

(on ne connaît pas de nombre non atteint). 

Période proche de 2 1492 . 


ALGORITHME « MERSENNE TWISTER ». 

Troisième algorithme implémenté sous Matlab (version 5 et plus). 

Disponible via 

◮ s=rand(’twister’) : fournit le paramètre x 0 de cette méthode 

(vecteur de dimension 625). 

◮ rand(’twister’,s) : impose à Matlab d’utiliser cet algorithme 

avec x 0 = s. 

Période de l’ordre de (2 19937 − 1)/2. 


IMPORTANCE DE LA RACINE. 

REMARQUE 

Connaître la valeur de la racine avant de lancer un programme peut 

être important ! Notamment pour pouvoir : 

comparer des vitesses de calcul ; 

générer des variables aléatoires couplées. 

Pour éviter d’avoir toujours le même nombre de départ : 

✞ 

rand ( ’ s t a t e ’ ,sum(100∗ clock ) ) 

rand 

✝ 

☎ 

✆ 


PLAN 


















FONCTION DE RÉPARTITION. 

DÉFINITION 

La fonction de répartition de X, notée F X , est définie sur R par : 

∀x ∈ R, F X (x) = P(X ≤ x). 

PROPOSITION 

Soit F X la fonction de répartition d’une v.a.r. X. Alors : 

1 F X (x) ∈ [0, 1]. 

2 F X est croissante. 

3 lim F X (x) = 0 et lim F X (x) = 1. 

x→−∞ x→+∞ 

4 F X est continue à droite et a une limite à gauche en tout point. 


V.A. À DENSITÉ. 

DÉFINITION 

Une v.a. X est à densité (par rapport à la mesure de Lebesgue) s’il 

existe f t.q. 

pour tout x ∈ R, f (x) ≥ 0 ; 

∫ +∞ 

−∞ 

f (x) dx = 1 ; 

et pour tout −∞ ≤ a 

a f (t)dt. 

EXEMPLE : LOI UNIFORME SUR [a, b] 

X suit une loi uniforme sur [a, b] si sa densité f est 

f (x) = 1 

b − a 1 [a,b](x). 


V.A. À DENSITÉ. 

PROPOSITION 

Si X a pour densité f , alors 

∀x ∈ R, F X (x) = P(X ≤ x) = ∫ x 

−∞ f (t)dt. 

F X est continue. 

F X est dérivable aux points de continuité de f avec f X (x) = F ′ X (x). 

EXEMPLE : LOI UNIFORME SUR [a, b] 

Si X suit la loi uniforme sur [a, b], alors 

F X (x) = 0 si x ≤ a, 

F X (x) = x − a si x ∈ [a, b], 

b − a 

F X (x) = 1 pour x ≥ b. 


V.A. DISCRÈTES. 

DÉFINITION 

Une v.a. X est discrète si elle ne prend qu’un nombre fini (ou 

dénombrable) de valeurs {x i ∈ R, i ∈ N} avec probabilité 

p i = P(X = x i ) ≥ 0. De plus 

+∞∑ 

P(X = x i ) = 

+∞∑ 

i=0 

i=0 

p i = 1. 

REPRÉSENTATION en tableau 

X x 0 x 1 x 2 x 3 . . . (valeurs prises parX) 

P(X = x i ) p 0 p 1 p 2 p 3 . . . (probabilité) 

PROPOSITION 

Si X est une v.a. discrète, F X est constante par morceaux. 


EXEMPLE : DÉ À SIX FACES. 

FONCTION DE RÉPARTITION d’une v.a. de loi uniforme sur {1, . . . , 6} 


PLAN 


















MÉTHODE D’INVERSION. 

Si X est une v.a.r. alors la fonction de répartition F X est définie par 

∀x ∈ R, F X (x) = P(X ≤ x). 

Comme F X est croissante, on peut définir la fonction pseudo-inverse 

q X de F X ainsi : 

∀u ∈ (0, 1), q X (u) = inf{x ∈ R, F X (x) > u}. 

THÉORÈME 

Si U suit une loi uniforme sur [0, 1], q X (U) suit la même loi que X. 

PROPOSITION 

Si F est inversible, alors q = F −1 . 


EXEMPLES. 

Si U suit une loi uniforme sur [0, 1], alors 

LOI UNIFORME SUR [a, b] 

X = a + (b − a)U suit la loi uniforme sur [a, b]. 

LOI EXPONENTIELLE 

X = − 1 ln(1 − U) suit la loi exponentielle de paramètre λ. 

λ 

LOI DE CAUCHY 

X = c tan(π(U − 1/2)) suit la loi de Cauchy de paramètre c. 

LOI DE BERNOULLI 

Si U < 1 − p, X = 0, sinon X = 1 : suit la loi de Bernoulli de paramètre 

p ∈ [0, 1]. 


LOI DISCRÈTE À SUPPORT FINI. 

✞ 

function r e a l i s = r d i s t ( x , p ) 

n=length ( p ) ; 

r = rand ; a = 0; b = p ( 1 ) ; 

for i = 1 : n−1, 

i f ( ( r >=a ) & ( r

LOI UNIFORME. 

✞ 

☎ 

function r e a l i s = r a n d d i s c r ( x , n ,m) 

%Renvoie des realisations iid 

%de loi uniforme sur x(1),...,x(length(x)). 

%n et m sont des entiers optionnels, valant 1 par defaut. 

i f ( nargin ==0) 

error ( ’ Pas assez de parametres ’ ) ; 

e l s e i f ( nargin ==1) 

n=1;m=1; 

e l s e i f ( nargin ==2) 

m=1; 

e l s e i f ( nargin >3) 

error ( ’ Trop de parametres ’ ) ; 

end ; 

r e a l i s = reshape ( x ( c e i l ( length ( x )∗ rand ( n ,m) ) ) , n ,m) ; 

return ; 

✝ 

✆ 


INVERSION : DIMENSION QUELCONQUE. 

Soit une v.a. X = (X 1 , X 2 ) de loi connue P X sur R 2 avec densité f > 0. 

Fonction de répartition de X 1 : 

∫ x1 

∫ 

F X1 (x 1 ) = f (x, y)dxdy. 

−∞ 

Soit q 1 son inverse. 

Fonction de répartition F X 1=x 1 

X 2 

de la loi conditionnelle de X 2 sachant 

X 1 = x 1 : 

∫ x2 

F X 1=x 1 

−∞ 

X 2 

(x 2 ) = 

f (x 1, y)dy 

∫ +∞ 

−∞ f (x 1, y)dy . 

Inverse : q 2 . 

MÉTHODE 

Si U 1 et U 2 sont deux v.a. uniformes sur [0, 1] indépendantes, alors 

X 1 = q 1 (U 1 ), X 2 = q 2 (q 1 (U 1 ), U 2 ). 

R 


PLAN 


















LOI BINOMIALE. 

DÉFINITION 

Une v.a. X à valeurs entières comprises entre 1 et N suit une loi 

binômiale de paramètres N ∈ N ∗ et p ∈ [0, 1] si : 

∀k = 1, . . . , N, P(X = k) = C k N pk (1 − p) N−k . 

PROPOSITION 

Soient U i , i = 1, . . . , N des v.a. uniformes sur [0, 1] indépendantes. 

N∑ 

Soit X le nombre des U i inférieures à p ∈ [0, 1], i.e. X = 1 Ui

LOI GÉOMÉTRIQUE. 

DÉFINITION 

Une v.a. X à valeurs entières strictement positives suit une loi 

géométrique de paramètre p ∈]0, 1[ si : 

QUELQUES RÉSULTATS : 

E(X) = 1 1−p 

p 

, Var(X) = . 

p 2 

P(X ≥ k) = (1 − p) k−1 . 

PILE OU FACE 

∀n ≥ 1, P(X = n) = p(1 − p) n−1 . 

Une loi géométrique est la loi du nombre de tirages à pile ou face 

(indépendants) à réaliser pour obtenir face (si face a p % de chances 

de sortir). 


LOI DE POISSON. 

DÉFINITION 

Une v.a. X à valeurs entières positives suit une loi de Poisson de 

paramètre λ > 0 si : 

MOMENTS : E(X) = Var(X) = λ. 

PROPOSITION 

−λ λn 

∀n ≥ 0, P(X = n) = e 

n! . 

Soit (E n ) n∈N v.a. i.i.d. exponentielles de paramètre λ. Alors 

−λ λn 

P(E 1 + . . . + E n ≤ 1 < E 1 + . . . + E n+1 ) = e 

n! . 


LOI DE POISSON. 

DÉFINITION 

Une v.a. X à valeurs entières positives suit une loi de Poisson de 

paramètre λ > 0 si : 

MOMENTS : E(X) = Var(X) = λ. 

MÉTHODE 

−λ λn 

∀n ≥ 0, P(X = n) = e 

n! . 

X = 1 E1 ≤1

PLAN 


















QUELLES VÉRIFICATIONS 

DEUX TYPES de vérifications : 

histogramme normalisé contre densité, 

fonctions de répartition empirique contre théorique. 

Dans les deux cas, il faut d’abord simuler un grand nombre de fois la 

loi en question. Pour n ∈ N ∗ , on obtient un vecteur (x 1 , . . . , x n ) qui 

contient n réalisations de la loi de X. 


HISTOGRAMME VS. DENSITÉ. 

HISTOGRAMME NORMALISÉ 

1 regrouper les n termes dans un certain nombre m de classes 

(avec 

∑ 

m < n). Dans chaque classe r m réalisations de X avec 

r m = n. 

m 

2 normalisation : la somme des aires des colonnes fait 1 

−→ r m /(n(C m+1 − C m )). 

3 tracé : sur l’axe des abscisses, placer les m centres des m 

classes, et mettre une colonne de hauteur r m /(n(C m+1 − C m )). 

CONVERGENCE VERS LA DENSITÉ 

r m 

n(C m+1 − C m ) 

−→ 

n→+∞ 

1 

C m+1 − C m 

P(X ∈ [C m , C m+1 [). 


HISTOGRAMME VS. DENSITÉ. 

CONVERGENCE VERS LA DENSITÉ 

CONCLUSION 

r m 

n(C m+1 − C m ) 

−→ 

n→+∞ 

1 

C m+1 − C m 

P(X ∈ [C m , C m+1 [). 

Si X discrète avec C k espacés de 1, approximativement p k . 

Si X à densité, alors 

P(X ∈ [C m , C m+1 [) 

C m+1 − C m 

= 

∫ 

1 Cm+1 

f (t)dt −→ 

C m+1 − C f (C m). 

m C m 

C m+1 −C m→0 


RÉPARTITION EMPIRIQUE VS. THÉORIQUE. 

FONCTION DE RÉPARTITION EMPIRIQUE 

∀t ∈ R, F n (t) = 1 n 

n∑ 

1 ]−∞,t] (x i ). 

i=1 

THÉORÈME DE KOLMOGOROV-SMIRNOV 

∀t ∈ R, 

lim F n (t) = F X (t). 

n→+∞ 


EXEMPLE SUR LA LOI EXPONENTIELLE(2). 

n=100 

Histogramme vs densite 

Fcts de repartition 

2.0 

1.8 

1.6 

1.0 

empirique 

theorique 

1.4 

0.8 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.6 

0.2 

0.4 

0.2 

0.0 

0.0 

0 1 2 3 4 5 6 

!0.2 

!1 0 1 2 3 4 5 


EXEMPLE SUR LA LOI EXPONENTIELLE(2). 

n=10000 

Histogramme vs densite 


2.0 

1.8 

1.6 

1.0 

empirique 

theorique 

1.4 

0.8 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.6 

0.2 

0.4 

0.2 

0.0 

0.0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 

!0.2 

!1 0 1 2 3 4 5 6 7 


EXEMPLE SUR LA LOI DE BERNOULLI(0.3). 

n=100 

Histogramme 


0.8 

0.7 

1.0 

empirique 

theorique 

0.6 

0.8 

0.5 

0.6 

0.4 

0.3 

0.4 

0.2 

0.2 

0.1 

0.0 

0.0 

!0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 

!0.2 

!1.0 !0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 


EXEMPLE SUR LA LOI DE BERNOULLI(0.3). 

n=10000 

Histogramme 


0.7 

0.6 

1.0 

empirique 

theorique 

0.5 

0.8 

0.4 

0.6 

0.3 

0.4 

0.2 

0.2 

0.1 

0.0 

0.0 

!0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 

!0.2 

!1.0 !0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 


PLAN 


















MÉTHODE DE REJET. 

On veut simuler une v.a. de densité f , et il existe une densité g 

simulable facilement et une constante k ≥ 1 telle que 

Soit α(x) = f (x) 

kg(x) . 

PROPOSITION 

∀x ∈ R, f (x) ≤ kg(x). 

Soit (X i ) i≥1 une suite de v.a. i.i.d. de densité g, et (U i ) i≥1 une suite de 

v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1], indépendante de la suite (X i ) i≥1 . 

Soit 

T = inf{i ≥ 1, U i ≤ α(X i )}. 

La variable X T a pour densité f . 


MÉTHODE DE REJET. 

MÉTHODE 

Soit (X 1 , U 1 ) un couple de v.a. indépendantes telles que X 1 suive la loi 

de densité g et U 1 suive une loi uniforme sur [0, 1]. Si U 1 ≤ α(U 1 ), on 

pose X = X 1 . 

Sinon on rejette X 1 et on recommence en générant une suite 

(X n , U n ) n≥2 de v.a. indépendantes de même loi que (X 1 , U 1 ) jusqu’à 

l’instant p où U p ≤ α(X p ). On pose alors X = X p . 

REMARQUES 

on n’a pas besoin de connaître F , ni F −1 . 

elle s’étend à R d , à des lois discrètes, etc. 


MÉTHODE DE REJET : VITESSE. 

Calcul de la probabilité d’acceptation : 

p = P(U ≤ α(X)) = 1 k . 

Donc T a pour distribution une loi géométrique de paramètre p. En 

moyenne, on doit rejeter k = 1/p fois avant d’accepter la valeur. 

Ainsi il faut choisir g telle que 

( ) f 

k = max 

g 

soit la plus petite possible. 


PLAN 


















LOI NORMALE : MÉTHODE POLAIRE. 

PROPOSITION 

Si Y ∼ N (µ, σ 2 ), alors X = (Y − µ)/σ ∼ N (0, 1). 

Pour simuler X (et Y ) 

simuler deux lois uniformes U et V sur [0, 1] ; 

poser 

X = √ −2 ln U cos(2πV ), Y = √ −2 ln U sin(2πV ). 

PROPOSITION 

X et Y sont deux v.a. normales centrées réduites indépendantes. 

Ou utiliser sous Matlab randn(n,m). 



Pour simuler X (et Y ) 

simuler deux lois uniformes U et V sur [0, 1] ; 

poser 

✞ 

c l f ; 

X = √ −2 ln U cos(2πV ), Y = √ −2 ln U sin(2πV ). 

hold on 

t i t l e ( ’ Simulation d ’ ’ une l o i normale ’ ) 

ylabel ( ’ E f f e c t i f s ’ ) ; xlabel ( ’ Valeurs ’ ) ; 

[ E,C]= ecdf ( sqrt (−2∗log ( rand ( 5 0 0 0 , 1 ) ) ) 

. ∗ cos(2∗ pi ∗rand ( 5 0 0 0 , 1 ) ) ) ; 

e c d f h i s t (E,C, 4 0 ) ; 

hold on 

plot (C, ( 2 ∗ pi )^( −1/2)∗ exp(−C. ^ 2 / 2 ) , ’ r− ’ ) ; 

legend ( ’ Empirique ’ , ’ Theorique ’ ) 

hold o f f 

✝ 

☎ 

✆ 






LOI NORMALE : MÉTHODE POLAIRE-REJET. 

PROPOSITION 

(X, Y ) = (ρ cos(θ), ρ sin(θ)) suit une loi uniforme sur le disque unité du 

plan, alors 

√ 

−4 ln(ρ) 

(X, Y ) 

ρ 

suit une loi normale centrée réduite bidimensionnelle. 

(X, Y ) facile à simuler par rejet à partir d’une uniforme sur le carré 

[−1, 1] 2 (rejet dans 21 % des cas puisque π/4 ≈ 0, 79). 

θ et ρ indépendantes, 

ρ loi de densité u ↦→ 2u1 [0,1] (u), −4 ln(ρ) exponentielle de 

paramètre 1/2, 

θ uniforme sur [0, 2π]. 


LOI UNIFORME SUR LE DISQUE. 


VECTEUR GAUSSIEN. 

PROPOSITION 

Soit 

m ∈ R n , 

Γ ∈ S + n (R) matrice réelle de taille n symétrique positive, 

Y vecteur aléatoire gaussien standard de moyenne nulle et 

matrice de covariance Id n . 

Alors le vecteur aléatoire X = Γ 1/2 Y + m est gaussien de moyenne m 

et de matrice de covariance Γ. 

Si Y est un vecteur gaussien de loi N (0, Id n ), ses coordonnées sont 

i.i.d. de loi N (0, 1). Ainsi on peut simuler une réalisation de Y en 

simulant n réalisations indépendantes Y 1 (ω), . . . , Y n (ω) de loi N (0, 1). 


PLAN 


















DEUX EXEMPLES. 

EXEMPLE THÉORIQUE. Calculer θ = E(e 5Z ) = e 52 /2 avec Z ∼ N (0, 1) 

variance théorique : σ 2 = e 50 − e 25 ≈ 7 × 10 10 . 

valeur exacte : 268337. 

nombre tirages : N = 500000. 

valeur estimée : θ = 221741. 

Intervalle de confiance : I = [−65186, 508668]. 


DEUX EXEMPLES. 

EXEMPLE PLUS CONCRET. Call C = E((5e (Z −1/2) − 3) + ) avec 

Z ∼ N (0, 1) 

valeur exacte : 2,71. 

nombre tirages : N = 1000. 

valeur estimée : 2,83. 

Intervalle de confiance : I = [2, 42; 3, 24]. 

Put P = E((3 − 5e (Z −1/2) ) + ) et C − P = 2. 

valeur exacte : 0,71. 

valeur estimée : 0,70. 

Intervalle de confiance : I = [0, 64; 0, 76]. 

Contrôle : C = 2 + P. 


RÉDUCTION DE VARIANCE : MÉTHODES. 

Variables antithétiques. 

Variables de contrôle. 

Échantillonnage préférentiel (ou d’importance). 

Échantillonnage stratifié. 

Méthodes adaptatives (chaînes de Markov). 


PLAN 


















VARIABLES ANTITHÉTIQUES. 

BUT : calculer θ = E(Y ) = E(f (X)). 

DEUX V.A. Y 1 et Y 2 de même loi que Y . 

( 

E(Y ) = 1 2 (E(Y 1) + E(Y 2 )) = E 

Y1 +Y 2 

2 

) 

Var 

( 

Y1 +Y 2 

2 

) 

; 

= Var (Y 1)+Var (Y 2 )+2Cov(Y 1 ,Y 2 ) 

4 

; 

si Y 1 ( et Y 2 décorrélées ) (ou indépendantes), 

Var 

Y1 +Y 2 

2 

= 

Var (Y ) 

2 

; 

( ) 

si Cov(Y 1 , Y 2 ) < 0, alors Var 

Y1 +Y 2 

2 

< 

Var (Y ) 

2 

. 

QUESTION : comment obtenir Y 1 et Y 2 de même loi que Y avec 

Cov(Y 1 , Y 2 ) < 0 


VARIABLES ANTITHÉTIQUES UNIFORMES. 

HYPOTHÈSE : Y = g(U) où U uniforme sur [0, 1] . 

ALGORITHME CLASSIQUE avec échantillon de taille 2n. 

MÉTHODE 

de i = 1 à 2n 

générer U i 

définir Y i = g(U i ) 

fin 

définir ˆθ 2n = Y 2n = 1 

2n 

2n∑ 

i=1 

Y i et ˆσ 2 2n = 1 

2n − 1 

définir CI = [ˆθ 2n − c α 

ˆσ 2n 

√ 

2n 

, ˆθ 2n + c α 

ˆσ 2n 

√ 

2n 

] 

2n∑ 

i=1 

(Y i − ˆθ 2n ) 2 



HYPOTHÈSE : Y = g(U) avec U uniforme sur [0, 1]. 

ALGORITHME avec échantillon de taille 2n. 

MÉTHODE 

de i = 1 à 2n 

générer U i 

définir Y i = g(1 − U i ) 

fin 

définir ˆθ 2n = Y 2n = 1 

2n 

2n∑ 

i=1 

Y i et ˆσ 2 2n = 1 

2n − 1 

définir CI = [ˆθ 2n − c α 

ˆσ 2n 

√ 

2n 

, ˆθ 2n + c α 

ˆσ 2n 

√ 

2n 

] 

2n∑ 

i=1 

(Y i − ˆθ 2n ) 2 




ALGORITHME MÉLANGÉ avec échantillon de taille n. 

MÉTHODE 

de i = 1 à n 

générer U i 

définir Y i = g(U i ), Ỹi = g(1 − U i ) et Z i = Y i + Ỹi 

2 

fin 

définir ˆθ n,a = Z n = 1 n∑ 

Z i et ˆσ n 2 = 1 n∑ 

(Z i − ˆθ n ) 2 

n 

n − 1 

i=1 

définir CI = [ˆθ n,a − c α 

ˆσ n 

√ n 

, ˆθ n,a + c α 

ˆσ n 

√ n 

] 

i=1 




DIFFÉRENTS RÉSULTATS : 

ˆθ 2n = Y 2n = 1 ∑ 2n 

2n i=1 Y i ; 

ˆθ n,a = Z n = 1 ∑ n 

n i=1 Z i. 

COMPARAISON DES VARIANCES 

Var (ˆθ 2n ) = Var 

( ∑2n ) 

i=1 Y i Var (Y ) 

= 

2n 2n 

Ainsi 

Var (ˆθ n,a ) = Var (ˆθ 2n ) + Cov(Y , Ỹ ) . 

2n 

Var (ˆθ n,a ) < Var (ˆθ 2n ) ⇐⇒ Cov(g(U), g(1 − U)) < 0. 




THÉORÈME 

Si g est une fonction monotone, alors Cov(g(U), g(1 − U)) < 0. 

CONSÉQUENCE 

Méthode d’inversion : g = f (F −1 ) est monotone si f l’est. 

X 


VARIABLES ANTITHÉTIQUES : GÉNÉRALISATION. 

HYPOTHÈSE SUR X : il existe a t.q. X et a − X aient la même loi. 

EXEMPLES 

Lois normales N (µ, σ 2 ) : a = 2µ. 

Lois de Laplace de paramètre λ > 0 : f (x) = λ 2 

exp(−λ|x|). a = 0. 

MÉTHODE 

de i = 1 à n 

générer X i 

définir Y i = g(X i ), Ỹi = g(a − X i ) et Z i = Y i + Ỹi 

2 

fin 

définir ˆθ n,a = Z n = 1 n∑ 

Z i et ˆσ n 2 = 1 n∑ 

(Z i − ˆθ n ) 2 

n 

n − 1 

i=1 

définir CI = [ˆθ n,a − c α 

ˆσ n 

√ n 

, ˆθ n,a + c α 

ˆσ n 

√ n 

] 

i=1 


EXEMPLE : OPTION KNOCK-IN. 

CONTRAT FINANCIER de payoff h(S T ) = max(0, S T − K )1 ST >B. 

MODÈLE BLACK-SCHOLES S T = S 0 exp((r − σ 2 /2)T + σ √ T X, 

X ∼ N (0, 1). 

PRIX DU CONTRAT 

C = e −rT E (h(S T )) = e −rT E ( max(0, S T − K )1 ST >B) 

. 

JEU DE PARAMÈTRES S 0 = 2, K = 1, B = 2, 5, r = 0, 1, σ = 0.3, 

T = 10, N = 5000. 

RÉSULTATS OBTENUS 

sans réduction de variance : C = 1.5720 (variance 5.4236) ; 

avec réduction de variance : C = 1.5543 (variance 1.5827). 


PLAN 


















VARIABLES DE CONTRÔLE. 

BUT : calculer θ = E(Y ) = E(f (X)). 

AJOUT d’une variable Z 

facilement simulable ; 

E(Z ) connue ou facilement calculable (variance « petite »). 

DEUX CALCULS POSSIBLES DE θ : 

par méthode de Monte Carlo standard, 

en posant W c = Y + c(Z − E(Z )) et en calculant E(W c ) par 

Monte Carlo (c : paramètre constant fixé). 

QUESTION : Var (W c ) < Var (Y ) 


VARIABLES DE CONTRÔLE. 

CALCUL DE LA VARIANCE : 

Var (W c ) = Var (Y ) + c 2 × Var (Z ) + 2c × Cov(Y , Z ). 

CHOIX OPTIMAL DE c : c ∗ Cov(Y ,Z ) 

= − 

Var (Z ) 

Cov(Y ,Z )2 

Var (W c ∗) = Var (Y ) − ; 

Var (Z ) 

Var (W c ∗) < Var (Y ) ⇔ Cov(Y , Z ) < 0 ; 

Z : variable de contrôle de Y . 

; 

ALGORITHME : 

ˆθ N,c ∗ = 1 N 

N∑ 

(Y i + c ∗ (Z i − E(Z ))) ≈ θ. 

i=1 

PROBLÈMES : calcul de E(Z ) De Cov(Y , Z ) 


MMC AVEC VARIABLE DE CONTRÔLE. 

MÉTHODE 

ÉTAPE 1 : p petit → détermine une valeur approchée de c ∗ . 

Simuler p v.a. (Y n ) 1≤n≤p et p v.a. (Z n ) 1≤n≤p . 

Poser : 

Calculer ĉ ∗ = 

Ê(Z ) = 1 p 

p∑ 

Z i , Ê(Y ) = 1 p 

i=1 

̂Var (Z ) = 1 

p − 1 

Ĉov(Y , Z ) = 1 

p − 1 

,Z ) 

−Ĉov(Y . ̂Var (Z ) 

p∑ 

Y i , 

i=1 

p∑ 

(Z j − Ê(Z ))2 , 

j=1 

p∑ 

(Y i − Ê(Y ))(Z j − Ê(Z ))). 

j=1 


MMC AVEC VARIABLE DE CONTRÔLE. 

MÉTHODE 

ÉTAPE 1 : p petit → détermine une valeur approchée de c ∗ . 

ÉTAPE 2 : N grand. 

Simuler N v.a. (Y n ) 1≤n≤N et N v.a. (Z n ) 1≤n≤N . 

Poser : 

̂θ = 1 N 

N∑ 

(Y i + ĉ ∗ (Z i − Ê(Z ))) ≈ θ. 

i=1 


UN EXEMPLE. 

ÉNONCÉ 

Calculer θ = E(e (U+V )2 ) avec U et V de loi uniforme sur [0, 1]. 

Y = e (U+V )2 . 

Variables de contrôle : Z 1 = U + V , Z 2 = (U + V ) 2 ou encore 

Z 3 = exp(U + V ). 


LE PROGRAMME (CALCUL DE c ∗ ). 

✞ 

p=500; 

u=rand ( p , 1 ) ; v=rand ( p , 1 ) ; 

y=exp ( ( u+v ) . ^ 2 ) ; z1=u+v ; z2 =(u+v ) . ^ 2 ; z3=exp ( u+v ) ; 

a1=cov ( [ y z1 ] ) ; 

a2=cov ( [ y z2 ] ) ; 

a3=cov ( [ y z3 ] ) ; 

c_est1=−a1 ( 1 , 2 ) / a1 ( 2 , 2 ) 

c_est2=−a2 ( 1 , 2 ) / a2 ( 2 , 2 ) 

c_est3=−a3 ( 1 , 2 ) / a3 ( 2 , 2 ) 

✝ 

Valeurs obtenues : 

c est1 = - 11.088954 

c est2 = - 5.7049857 

c est3 = - 3.9928724 

☎ 

✆ 


LE PROGRAMME (MMC). 

✞ 

n=5000; 

u=rand ( n , 1 ) ; v=rand ( n , 1 ) ; 

y=exp ( ( u+v ) . ^ 2 ) ; z1=u+v ; z2 =(u+v ) . ^ 2 ; z3=exp ( u+v ) ; 

m1=mean( z1 ) 

m2=mean( z2 ) 

m3=mean( z3 ) 

w1=y+c_est1 ∗( z1−m1 ) ; 

w2=y+c_est2 ∗( z2−m2 ) ; 

w3=y+c_est3 ∗( z3−m3 ) ; 

b0 =[mean( y ) stdev ( y ) ^ 2 ] 

b1 =[mean(w1) var (w1 ) ] 

b2 =[mean(w2) var (w2 ) ] 

b3 =[mean(w3) var (w3 ) ] 

%Intervalle de confiance 

CI =[ b2(1) −1.96∗ stdev (w2 ) / sqrt ( n ) , 

b2 (1)+1.96∗ stdev (w2 ) / sqrt ( n ) ] 

✝ 

☎ 

✆ 


BILAN. 

Valeurs obtenues : 

m1 = 1.0006399 (exacte 1) ; 

m2 = 1.171765 (exacte 7/6 ≈ 1.1666667) ; 

m3 = 2.959135 (exacte (e − 1) 2 ≈ 2.9524924) ; 

CI = [4.8545742, 5.0088663]. 

moyenne variance 

b0 4.9317203 34.564778 

b1 4.9317203 13.840552 

b2 4.9317203 7.7461357 

b3 4.9317203 7.2175877 


PLAN 


















MONTE CARLO CONDITIONNEL. 

IDÉE : au lieu de calculer θ = E(Y ) = E(f (X)), pour Z v.a. 

poser V = E(Y |Z ) = g(Z ) v.a. ; 

et θ = E(V ). 

CONDITIONS : 

Z facilement simulable ; 

V facilement calculable. 

CALCULS DE LA VARIANCE : Var (Y |Z ) est une v.a. positive : 

[ 

Var (Y |Z ) = E (Y − E(Y |Z )) 2∣ ] 

∣Z , 

et comme Y − E(Y ) − (E(Y |Z ) − E(Y )) ⊥ E(Y |Z ) − E(Y ), 

Var (Y ) = E(Var (Y |Z )) + Var (E(Y |Z )) ⇒ Var (Y ) ≥ Var (E(Y |Z )). 


PLAN 


















ÉVÉNEMENTS RARES. 

Technique utilisée beaucoup pour 

θ = P(X ≤ seuil ) = E(1 X≤seuil ), 

quand l’occurence de X ≤ seuil est très petite. 

EXEMPLES. 

Catastrophes climatiques, ferroviaires, aériennes, etc. 

Faillites de grosses entreprises, d’états, etc. 

Cracks boursiers importants 

BUT : mesurer les risques de portefeuille, opérationnels, etc. 

(obligation légale pour les banques ou les assurances). 


EXEMPLE. 

X suit une loi normale de paramètres 0 et 1 

θ = P(X ≤ −10) = E(1 X≤−10 ). 

MONTE-CARLO CLASSIQUE. 

Nombre de tirages N variant de 1000 à 10000000. 

Valeur estimée : 0. 

CONCLUSION ERRONÉE : θ = 0. 

VALEUR EXACTE : θ = 7.6199 × 10 −24 . 

Nombre de tirages nécessaires de l’ordre de 10 25 : impossible ! 


ÉCHANTILLONNAGE PRÉFÉRENTIEL : PRINCIPE. 

Changer la loi. Soient φ la densité de X et ψ une autre densité telle 

que ψ(x) ≠ 0 si φ(x) ≠ 0. Alors 

∫ 

θ = E(f (X)) = 

∫ 

f (x)φ(x)dx = 

f (x) φ(x) 

ψ(x) ψ(x)dx 

= E(h(Y )), avec h(x) = f (x) φ(x) et Y ∼ ψ. 

ψ(x) 

DÉFINITION : g est une fonction d’importance. 

QUESTION : comment choisir g 


RETOUR SUR L’EXEMPLE. 

X ∼ N (0, 1) et θ = P(X ≤ −10) : forcer les tirages de Y à être aux 

alentours de -10. Donc Y ∼ N (−10, 1). 

REMARQUE 

Si Y ∼ N (µ, σ 2 ), alors P(Y ≤ µ) = 1/2. 

∫ 

θ = P(X ≤ −10) = 

= 

= 

∫ 

∫ 

R 

R 

1 x≤−10 

⎛ 

⎝ 

R 

√1 

exp 2π 

√1 

exp 2π 

1 

1 x≤−10 √ exp 

(− x 2 ) 

2π 2 

( ) ⎞ 

− x 2 

2 

( ) ⎠ √ 1 exp 

2π 

− (x+10)2 

2 

( 

1 x≤−10 exp 10x + (−10) 2 /2 

= E [1 Y ≤−10 exp (10Y + 50)] . 

(− 

) 1 

√ exp 

(− 

2π 

) 

(x + 10)2 

dx 

2 

) 

(x + 10)2 

dx 

2 



θ = P(X ≤ −10) = E [1 Y ≤−10 exp (10Y + 50)]. 

MONTE-CARLO AVEC Y. 

Valeur exacte θ = 7.6199 × 10 −24 . 

Y=randn(N,1) - 10. 

Nombre de tirages N variant de 1 à 10000. 

Valeur estimée : 8.0060 × 10 −24 . 

Écart-type : 2.6893 × 10 −23 




CHOIX DE LA FONCTION D’IMPORTANCE. 

DONNÉES : φ densité de X, ψ autre densité t.q. ψ(x) ≠ 0 si φ(x) ≠ 0. 

( 

θ = E(f (X)) = E(h(Y )) = E f (Y ) φ(Y ) ) 

, Y ∼ ψ. 

ψ(Y ) 

CALCULS DE LA VARIANCE : 

∫ 

Var (f (X)) = 

∫ 

Var (h(Y )) = 

Donc 

∫ 

Var (f (X)) − Var (h(Y )) = 

f 2 (x)φ(x)dx − θ 2 ; 

f 2 (x) φ2 (x) 

ψ(x) dx − θ2 . 

( 

f 2 (x) 1 − φ(x) ) 

φ(x)dx > 0. 

ψ(x) 




( 

θ = E(f (X)) = E(h(Y )) = E f (Y ) φ(Y ) ) 

, Y ∼ ψ. 

ψ(Y ) 


∫ 

Var (f (X)) − Var (h(Y )) = 

( 

f 2 (x) 1 − φ(x) ) 

φ(x)dx > 0. 

ψ(x) 

PISTE : si ψ(x) = f (x)φ(x)/θ, Var (h(Y )) = 0 ! Prendre ψ proche de 

f φ... 

THÉORÈME (RUBINSTEIN) 

La densité ψ qui minimise la variance est 

ψ(x) = 

1 

∫ 

|f (x)|φ(x)dx 

|f (x)|φ(x). 




( 

θ = E(f (X)) = E(h(Y )) = E f (Y ) φ(Y ) ) 

, Y ∼ ψ. 

ψ(Y ) 


IDÉE : 

∫ 

Var (f (X)) − Var (h(Y )) = 

prendre φ/ψ > 1 quand f φ petit ; 

prendre φ/ψ < 1 quand f φ grand. 

( 

f 2 (x) 1 − φ(x) ) 

φ(x)dx > 0. 

ψ(x) 


PLAN 


















PRINCIPE DE L’ÉCHANTILLONNAGE STRATIFIÉ. 

OBJECTIF : évaluer θ = E(Y ) avec Y v.a. réelle. Soit A 1 , . . . , A K 

sous-ensembles disjoints de R tels que P(Y ∈ ∪ i A i ) = 1. Alors 

θ = 

K∑ 

P(Y ∈ A i )E(Y |Y ∈ A i ) = 

i=1 

K∑ 

p i E(Y |Y ∈ A i ). 

i=1 

STRATIFICATION PROPORTIONNELLE. Soit N la taille de l’échantillon. 

choisir les A i avec p i = P(Y ∈ A i ) ; 

poser n i = Np i (considéré comme entier) ; 

pour chaque i = 1, . . . , K , simuler Y ij , j = 1, . . . , n i i.i.d. suivant la 

loi de Y sachant Y ∈ A i . 

θ ≈ 

K∑ 

i=1 

p i 

⎛ 

⎝ 1 n i 

n i 

∑ 

j=1 

Y ij 

⎞ 

⎠ = 1 N 

K∑ ∑n i 

Y ij . 

i=1 j=1 


GÉNÉRALISATION. 

◮ STRATIFICATION FONCTION DE X . 

A i choisis tels que P(X ∈ ∪ i A i ) = 1 : 

θ = 

K∑ 

P(X ∈ A i )E(Y |Y ∈ A i ) = 

i=1 

K∑ 

p i E(Y |X ∈ A i ). 

i=1 

Générer (X ij , Y ij ) suivant la loi conditionnelle de (X, Y ) sachant 

X ∈ A i . 

◮ SUPPRIMER LA PROPORTIONNALITÉ. 

Autoriser 

∑ 

le nombre de tirages n 1 , . . . , n k arbitraire (avec 

i n i = N) ; 

Poser q i = n i /N : 

⎛ ⎞ 

K 

θ ≈ Ŷ = ∑ 

p i 

⎝ 1 ∑n i 

Y ij 

⎠ = 1 K∑ p i 

∑n i 

Y ij . 

n i 

N q i 

i=1 

j=1 

i=1 

j=1 


EXEMPLES. 

◮ STRATIFICATION DE LA LOI UNIFORME. 

Partition de ]0, 1[ : A i =]a i , b i ] ; 

Loi de U sachant U ∈ A i : uniforme entre a i et b i ; 

Échantillon : V i = a i + (b i − a i )U i . 

Exemple : A i =](i − 1)/N, i/N], i = 1, . . . , N. 

◮ VIA FONCTION DE RÉPARTITION. 

Y de fonction de répartition F. 

Pour p 1 , . . . , p K données, avec a 0 = −∞, 

a 1 = F −1 (p 1 ), a 2 = F −1 (p 1 + p 2 ), . . . , a K = F −1 (1), 

et A i =]a i−1 , a i ] pour i = 1, . . . , K . Si a k = +∞, alors 

A K =]a K −1 , a K [. 

V = a i−1 + U(a i − a i−1 ) uniforme sur A i et F −1 (V ) a la loi de Y 

sachant Y ∈ A i . 


ANALYSE DE L’ESTIMATEUR Ŷ . 

NOTATIONS : 

θ i = E(Y ij ) = E(Y |X ∈ A i ), σ 2 = Var (Y ij ) = Var (Y |X ∈ A i ). 

ESTIMATEUR SANS BIAIS : 

E(Ŷ ) = 

K ∑ 

i=1 

p i 

⎛ 

⎝ 1 n i 

⎞ 

∑n i 

E(Y ij ) ⎠ = 

j=1 

N∑ 

p i θ i = θ. 

i=1 

de variance : 

avec 

Var (Ŷ ) = K ∑ 

i=1 

p 2 i Var ⎛ 

⎝ 1 n i 

⎞ 

∑n i 

E(Y ij ) ⎠ = 

j=1 

σ 2 (q) = 

N∑ 

i=1 

p 2 i 

q i 

σ 2 i . 

N∑ 

i=1 

p 2 i 

σ 2 i 

n i 

= σ2 (q) 

N 



INTERVALLE DE CONFIANCE : 

[Nq i ] 

1 ∑ 

√ (Y ij − θ i ) 

[Nqi ] 

j=1 

en loi 

−→ N (0, σ 2 i ) 

d’où 

√ 

N 

(Ŷ − θ 

) 

= √ N 

≈ 

K∑ 

i=1 

⎛ 

⎞ 

K∑ 

p i 

⎝ 1 

[Nq i ] 

∑ 

(Y ij − θ i ) ⎠ 

[Nq i ] 

i=1 

j=1 

⎛ 

⎞ 

p i 

√ ⎝√ 1 

[Nq i ] 

∑ 

(Y ij − θ i ) ⎠ 

qi [Nqi ] 

j=1 

Ainsi 

√ 

N 

(Ŷ − θ 

) en loi 

−→ N (0, σ(q) 2 ). 



INTERVALLE DE CONFIANCE : 

Ainsi 

√ 

N 

(Ŷ − θ 

) en loi 

−→ N (0, σ(q) 2 ). 

σ(q) 2 : estimé via 

N∑ 

s 2 pi 

2 (q) = si 2 q , avec s i déviation standard de Y i1 , . . . , Y ini ; 

i 

ou 

i=1 

◮ N = mk, ki = q i k et n i = mk i , 

◮ 

◮ 

Ŷ moyenne de m estimateurs Ŷi qui allouent une fraction q i 

d’observations pour la strate i et de taille k, 

Ŷi de variance σ(q) 2 /k et Ŷ de variance (σ(q)2 /k)/m. 


RÉDUCTION DE VARIANCE 

◮ CAS PROPORTIONNEL. 

[ 

σ 2 

N = 1 N (E(Y 2 ) − θ 2 ) = 1 K 

] 

∑ 

p i E(Y 2 |X ∈ A i ) − θ 2 

N 

i=1 

[ 

= 1 K 

] 

∑ 

p i (σi 2 + θi 2 N 

) − θ2 

= 1 N 

i=1 

K∑ 

p i σi 2 + 1 N 

i=1 

Ainsi : σ2 

N − Var (ŶProp) = 1 N 

K∑ 

p i (θ i − θ) 2 

i=1 

K∑ 

p i (θ i − θ) 2 . 

i=1 



◮ CAS PROPORTIONNEL. Ainsi : σ2 


◮ OPTIMISATION. 

Trouver le minimum de σ 2 (q) = 

n 1 + . . . + n k = N. 

Optimum : qi ∗ = p iσ i 

. 

K∑ 

p j σ j 

Ainsi 

j=1 

N∑ 

i=1 

p 2 i 

q i 

σ 2 i 

j=1 

K∑ 

p i (θ i − θ) 2 . 

i=1 

avec q i = n i /N et 

⎛ ⎞2 

Var (ŶOpt) = 1 K∑ 

⎝ p j σ j 

⎠ = ¯σ2 

N 

N . 

Var (ŶProp) − Var (ŶOpt) = 1 N 

K∑ ( 

p j σj − ¯σ ) 2 . 

A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 94 / 95 

j=1


◮ CAS PROPORTIONNEL. Ainsi : σ2 


◮ OPTIMISATION. 

K∑ 

p i (θ i − θ) 2 . 

i=1 

Var (ŶProp) − Var (ŶOpt) = 1 N 

K∑ ( 

p j σj − ¯σ ) 2 . 

j=1 

◮ CONCLUSION. 

σ 2 

N = σ2 

N − Var (ŶProp) + Var (ŶProp) − Var (ŶOpt) + ¯σ2 

⎡ 

⎤ 

N 

= 1 K∑ 

K∑ 

⎣ p i (θ i − θ) 2 ( 

+ p j σj − ¯σ ) 2 + ¯σ 

2⎦ . 

N 

i=1 

j=1 


EXEMPLE NUMÉRIQUE. 

OBJECTIF : calculer θ = E(Y ) = E( √ 1 − U 2 ), avec variable de 

stratification X = U. 

Pour A i =]a i , b i ], Y i = ( √ 1 − U 2 |U ∈ A i ) obtenue via (U|U ∈ A i ) 

uniforme sur A i . 

Choix : A 1 =]0, 1 K ], A 2 =] 1 K , 2 K ], . . . , A K =] K −1 

K , 1]. 

p i = 1/K , n i = Np i = N/K . 

RÉSULTATS : 

N = 10000, K = 100. 

Monte-Carlo standard : θ = 0, 782 avec intervalle de confiance 

[0, 7775; 0, 7864]. Variance : 0,05. 

Échantillonnage stratifié : θ = 0, 7854 avec intervalle de confiance 

[0, 7853; 0, 7855]. Variance : 2, 65 × 10 −5 .

MÃ©thode de Monte Carlo. - UniversitÃ© du Maine

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