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Calcul du champ électrique induit en Belgique lors d’éventuelles tempêtes solaires – Jean Louis VAN ECK On constate que les variations considérées de conductivité et d’épaisseur changent les valeurs du module de l’impédance principalement pour des périodes inférieures à 100 secondes. La variation est importante, elle peut atteindre un facteur 2 (100%) et même plus si les variations des conductivités et des épaisseurs de couches s’ajoutent. On remarque aussi à la figure 3 que les variations d’impédance entre le Nord et le Sud de la Belgique sont plus faibles que celles dues à l’imprécision des conductivités. Dans le Sud le module de l’impédance est un peu plus grand que dans le Nord. On considérera dans la suite toujours l’impédance du Nord de la Belgique. On voit aussi à la figure 3 que la décroissance est linéaire en fonction de la période à partir de 20 s environ. 3 RELATION APPROCHEE ENTRE CHAMP ELECTRIQUE ET CHAMP D’INDUCTION La transformée de Laplace inverse de la formule du champ électrique donné par la relation (1) s’avère compliquée en raison de l’expression mathématique de l’impédance de surface Z 1 (15). D’autre part l’imprécision des données rend tout calcul précis illusoire. C’est pourquoi on va s’efforcer de trouver une formule approchée la plus simple possible, qui représente plus ou moins bien les variations de l’impédance de surface Z 1 en fonction de la période T ou de la fréquence f . Bien entendu la formule présentée ici n’a aucune généralité, puisqu’elle se réfère aux valeurs particulières de l’impédance de surface en Belgique. Elle ne conduit pas à une valeur précise du champ électrique mais à un ordre de grandeur, seul résultat qui peut être obtenu avec des données aussi imprécises de la conductivité du sous-sol belge. On remarque sur les figures 2 et 3 que le logarithme du module de l’impédance de surface varie à peu près linéairement en fonction du logarithme de la période T dans la gamme des périodes intéressantes. Guidé par cela on choisit une impédance Z m telle que : Z m= K . (jω T 1 ) n = K.(2π T 1/T) n . e jnπ/2 (17) L’expression de |Z m| contient deux paramètres K et n que l’on détermine en imposant que les modules de Z 1 et Z m soient égaux en deux périodes T 1 et T 2 choisies dans la zone linéaire de variation du module de l’impédance Z 1. En fait, K et n déterminent complètement la position de la droite qui représente l’impédance │Z m │dans le diagramme bilogarithmique. On montre facilement que n = tg θ où θ est l’angle de pente de la droite qui représente l’impédance │Z m │. Revue E Tijdschrift – 131 ste jaargang/131 e année – n° 1-2-3-4-2015 (publication mars/publicatie maart 2017) 7
Calcul du champ électrique induit en Belgique lors d’éventuelles tempêtes solaires – Jean Louis VAN ECK On en déduit les deux équations suivantes: │Z m(T 1)│ = K.(2π ) n = │Z 1(T 1)│ (18) │Z m(T 2)│ = K.(2π T 1/T 2) n = │Z 1(T 2)│ (19) D’où on calcule les valeurs de n et K . n = [ log 10 (T 2/T 1)] -1 . log 10 │Z 1(T 1)/ Z 1(T 2)│ (20) K = (2π) -n .│Z 1(T 1)│ (21) En choisissant les périodes T 1 = 25 s et T 2 = 2500 s , on trouve pour l’impédance du Nord de la Belgique n = 0,859 et θ = 40,7° (22) K = 5,62.10 -3 Ω (23) L’expression de Z m s’écrit Z m = K (jω T 1) n = 5,62. 10 -3 (25.jω) 0,859 (24) │Z m │ = 4,33. 10 -1 . T -0,859 (25) Figure 4 Comparaison des impédances Z1 et Zm Impédance Z1 : traits pleins Impédance Zm : traits interrompus Module : courbes noires Partie réelle : courbes rouges Partie imaginaire : courbes vertes Les parties réelles, imaginaires et le module de l’impédance Zm sont évidemment des droites (dans ce diagramme bilogarithmique) représentées en traits interrompus. Revue E Tijdschrift – 131 ste jaargang/131 e année – n° 1-2-3-4-2015 (publication mars/publicatie maart 2017) 8
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