2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
A sajátértékek négyzetgyökéből alkotott diagonálmátrix:
⎡2,2714 0 ⎤
H = ⎢
0 1, 2107
⎥
⎣ ⎦ .
A sajátvektorok meghatározása következik (csak az első vektorra mutatjuk be a számítás
részleteit, a másiknál teljesen hasonlóak a lépések). A szükséges egyenletek (a
sajátértékfeladat első egyenletébe visszahelyettesített első sajátérték felhasználásával illetve
az iránykoszinuszok négyzetösszegére vonatkozó feltételből):
2 2
(4,0625 − 5,1592) n + 1,6875 n = 0, n + n = 1.
T
Az első sajátvektor: [ ]
1x 1y 1x 1y
a 1 = 0,8385 0,5449 .
T
A második sajátvektor: a 2 = [ − 0,5449
⎡0,8385 0,8385]
. Az A tenzor: A = ⎢
⎣0,5449 −0,5449⎤
0,8385
⎥
⎦ .
T ⎡1,9564 Az U nyúlási tenzor: U = A ⋅ H ⋅ A = U = ⎢
⎣0,4846 0,4846⎤
1,5257
⎥ .
⎦
Utolsó lépésként az R rotációs tenzor meghatározása következik:
-1
1 ⎡1 R = F⋅ U = R =
4
⎢
⎣8 −5⎤ 1 ⎡ 1,5257
4
⎥
2,75
⎢
⎦ ⎣−0, 4846
−0,4846⎤ ⎡0,3590 =
1,9564
⎥ ⎢
⎦ ⎣0,9333 −0,9333⎤
0,3590
⎥
⎦ .
Az eredmények ellenőrzését a triviálisan adódó RU szorzat mellett másképpen is
végrehajthatjuk, például úgy, hogy egyúttal megmutatjuk az egyes komponensek fizikai
tartalmát.
Transzformáljuk például a sajátvektorokat az anyagi térből az Euler-rendszerbe a gradienstenzor
segítségével:
E 1 ⎡1 −5⎤ ⎡0,8385⎤ ⎡−0,4715⎤ E 1 ⎡1 −5⎤ ⎡−0,5449⎤ ⎡ −1,1843
⎤
a1 = F a1 = , a2 F a2
.
4
⎢
8 4
⎥ ⎢
0,5449
⎥ = ⎢ = = =
2,2219
⎥
4
⎢
8 4
⎥ ⎢
0,8385
⎥ ⎢
−0,2513
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Az új vektorok természetesen most is merőlegesek egymásra, skalár szorzatuk zérus. Állítsuk
elő ugyanezt a transzformációt a poláris szorzat segítségével. Első lépésként szorozzuk be a
két eredeti sajátvektort a sajátértékekből adódó, nyújtást jellemző értékkel:
⎡0,8385⎤ ⎡1,9046 ⎤ ⎡ −0,5449 ⎤ ⎡−0,6597 ⎤
λ 1 a1 = 2, 2714 ⎢ , 2 a2
2,2714 ,
0,5449
⎥ = ⎢ λ = =
1,2377
⎥ ⎢
0,8385
⎥ ⎢
1,0152
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
majd ezeket a vektorokat a rotációs tenzor segítségével transzformáljuk az Euler-rendszerbe:
E
⎡0,3590 −0,9333⎤ ⎡1,9046⎤ ⎡−0,4715 ⎤
a1 = R λ 1 a1
= ⎢ ,
0,9333 0,3590
⎥ ⎢
1, 2377
⎥ = ⎢
2, 2219
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
E
⎡0,3590 −0,9333⎤ ⎡−0,6597⎤ ⎡ −1,1843
⎤
a2 = R λ 2 a2
= ⎢ .
0,9333 0,3590
⎥ ⎢ =
1,0152
⎥ ⎢
−0,2513
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Az eredmények megegyeznek az F tenzor használatával kapott korábbi transzformációval,
tehát a poláris felbontás helyes volt.
5. Főnyúlások számítása
5.1. Egy homogén térbeli alakváltozási állapotú testnél határozzuk meg a főnyúlások és
a hozzájuk tartozó főirányok értékeit!
Az ábrán látható testnél a terhelés előtti méreteket tüntettük fel. Feltételezzük, hogy az
alakváltozási állapot az egész testben homogén, és az alábbi GL-tenzor jellemzi:
11