2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
Használjuk most a GL-tenzort ugyanennek a számításnak a végrehajtására (ilyenkor az e2 -t
az eredeti Lagrange-rendszerben adott koordinátáival, vagyis egy ott egységvektorként adott
változóként kell figyelembe vennünk):
T
1 ⎡0 3⎤ ⎡0⎤ 7
EGL, e = E [ ]
2 2 EE 2 = 0 1
4
⎢
3 7
⎥ ⎢ =
1
⎥ .
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4
A számítás „fordított” sorrendben is elvégezhető. Ugyanennek a vektornak az Eulerrendszerből
a Lagrange-rendszerbe történő transzformálásánál a hossznégyzet változása:
2 2
1 ⎛ l − L ⎞ 7
eAH
, e = 2 ⎜ 2 ⎟ =
2 ⎝ l ⎠ 18
módon számítható, ami szintén egyezik az Almansi-Hamel-féle tenzorral történő
transzformációval:
⎡ 1 ⎤
T ⎡ 1 1 ⎤ 1 ⎡0 9 ⎤ ⎢ ⎥
7
eAH , e = e
2 2 ee2
= ⎢ ⎥
2 2 18
⎢ ⎢ ⎥ =
9 4
⎥ .
⎣ ⎦ ⎣ − ⎦ ⎢ 1 ⎥ 18
⎢
⎣ 2
⎥
⎦
3. Az alakváltozás-sebesség tenzor (D)
3.1. Számítsuk ki az AH-tenzor anyagi idő szerinti deriváltját az alakváltozás-sebesség
tenzor segítségével!
A tenzor számítása az eredeti definíció alapján:
1 −T −1
e = ⎡ ⋅ ⎤
2 ⎣
I -F F
⎦
.
Az anyagi idő szerinti derivált ennek figyelembevételével:
1 D −T −1 1 ⎛ D −T −1 −T D −1
⎞
eɺ = − ( F ⋅ F ) = − ⎜ ( F ) ⋅ F + F ⋅ ( F ) ⎟ .
2 Dt 2 ⎝ Dt Dt ⎠
Figyelembe véve, hogy a sebesség-gradiens tenzor az alábbi módon számítható (lásd a
második hét előadásvázlatát):
1
L F F −
= ɺ ⋅ ,
az előbbi egyenletben szereplő deriváltak az alábbiak lesznek:
D −1 −1 −1 −1 −1
( F ) = − F Fɺ F = −F L ⇐F
F= I azonosságból kiindulva, láncszabállyal ,
Dt
D −T −T D T −T T −T −T
T
( F ) = − F ( F ) F = −L F ⇐ F F = I azonosságból kiindulva, láncszabállyal .
Dt Dt
Helyettesítsük vissza ezeket a deriváltakat az AH-tenzor deriváltjának képletébe, így ott most
már megjelenik a sebesség-gradiens tenzor szimmetrikus részét jelentő alakváltozás-sebesség
tenzor:
1 T −T −1 −T −1
1 T T
eɺ = − ( −L F F − F F L) = ⎡ ( − 2 ) + ( − 2 ⎤ = − −
2 2 ⎣
L I e I e)L
⎦
D L e eL .
4. Az F gradienstenzor szorzat alakú (poláris) felbontása
Emlékeztetőül a poláris felbontás alapvető képletei:
F = R U ,
U = F F R = F U
⋅ ahol ( ) 1
9
T 2 -1
⋅ , ⋅
.