2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
∂u ∂v
lehetnek. Például a középsíknál (Y = R esetén) számított első deriváltak közül és
∂X ∂ Y
nulla és -2 (!) között változhat, de a másik két derivált is igen nagy lehet: u ∂
nulla és egy,
∂ Y
∂v
pedig nulla és -1 közötti változhat.
∂X
Fontos emlékeztetnünk arra, hogy a Green-Lagrange-tenzor elemei közvetlenül nem
használhatók fel a megváltozott hosszak számítására, hiszen eredetileg hossznégyzetek
különbségének jellemzésére alkották meg őket, némi átalakítással azonban a „valódi”
hosszváltozás is meghatározható belőlük. Például ebben az „egydimenziós” feladatban (az
egyszerűség kedvéért indexek nélküli változókat használva) a Green-Lagrange-alakváltozás
az eredeti definíció alapján (itt l az új, l 0 pedig az eredeti hossza egy egydimenziós elemnek):
l − l
E = .
2 2
0
2
2l0
Ha (tetszőleges értékű nyúlásra) egy „hagyományos” mérnöki alakváltozást
l − l0
ε =
l0
módon definiálunk, akkor az első képletből kifejezett l értéket a másikba helyettesítve a
következőt kapjuk:
ε = 2E + 1 − 1.
Ennek segítségével már meghatározható az új hosszúság a kezdeti érték felhasználásával:
l = l 1+ ε = l 2E + 1 .
( )
0 0
Nézzünk ennek bemutatására egy numerikus példát az előbbi, hajlított lemezcsíkra kapott
eredmények felhasználásával. Legyen például L = 30 cm, R = L / π = 9,549297cm
, a
vastagság pedig: t = 2 mm. Számítsuk ki a Green-Lagrange-tenzor felhasználásával a
„külső”, domború felületrészhez (h = +1 mm) tartozó új hosszúságot. Maga a GLalakváltozás
az adott numerikus értékekkel:
2
h 1 ⎛ h ⎞
EXX
= + ⎜ ⎟
R 2 ⎝ R ⎠
A mérnöki alakváltozás:
1 1 ⎛ 1 ⎞
= +
95,49297 2
⎜
95, 49297
⎟
⎝ ⎠
= 1,05268 ⋅10
ε =
A külső felület új hossza:
−2
2E + 1 − 1 = 1,0472 ⋅ 10 .
l = L 1+ ε = L 2E + 1 = 303,14159 mm .
( )
Ez az érték könnyen ellenőrizhető, hiszen π -vel elosztott értékének egyeznie kell az eredeti
sugár +h-val megnövelt nagyságával:
l
= 96, 49297 mm
π
vagyis a számítás helyes volt.
⇔ R + h = 96,49297 mm ,
b./ Számítsuk ki most az Almansi-Hamel-féle alakváltozástenzort! Az előadáson tanult
definíció az Euler-koordináták segítségével:
1 1
1 ⎛ u
−T − ∂u ∂ i j ∂uk ∂u
⎞
k
e = ⎡I -F F , vagyindexes jelöléssel : ei
j
2 ⎣
⋅ ⎤
⎦
= ⎜ + − ⎟ .
2 ⎜ ∂x j ∂x i ∂x i ∂x
⎟
⎝ j ⎠
6
2
−2
.