2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
⎡−3,72000 −2,57801 −3,89094⎤
E =
⎢
8,04615 1,01118
⎥
⎢
−
⎥
10
⎢⎣ szimm.
4,67385 ⎥⎦
Az előadáson láttuk, hogy az alakváltozás-tenzorok hoz tartozó sajátértékfeladat
karakterisztikus egyenletének alakja a következő 5 3 2
: − λ + I′ λ − I′ λ + I′
= .
12
−3
.
1 2 3 0
Az együtthatók az alakváltozás-tenzor invariánsai (az egyszerűség kedvéért kiemeljük a
3
10 − értékű tagot):
I′ = E + E + E = − 3,72000 + 8,04615 + 4,67385 = 9,00000,
I
1 11 22 33
E E E E E E
8,04615 −1,01118 −3,72000 −3,89094
22 23 11 13 11 12
′ 2 = + + = + +
E32 E 33 E 31 E33 E21 E 22 −1,01118 4,67385 −3,89094
4,67385
−3,72000 −2,57801
+ = − 32,51994,
−2,57801
8,04615
I
′3
−3,72000 −2,57801 −3,89094
= 8,04615 − 1,01118 = − 309, 255562.
szimm.
4,67385
Behelyettesítve a karakterisztikus egyenletbe:
3 2
− λ + 9λ + 32,51994λ − 309, 25562= 0 .
A harmadfokú egyenlet megoldásából (Cardano-képlet, Newton-Raphson-módszer, stb.) az
3
alábbi három gyököt kapjuk (visszaírjuk 10 − -at):
−3 −3 −3
λ = E = 8,6 ⋅10 , λ = E = 6, 2⋅10 , λ = E = −5,8 ⋅ 10 .
1 1 2 2 3 3
5
Megjegyezzük, hogy az alakváltozási tenzor invariánsait szokás vesszős felső indexszel ellátni,
megkülönböztetésül a feszültségi tenzor invariánsaitól, amelyek vessző nélküliek. Ennek a jelölési
módnak elsősorban anyagmodelleknél van jelentősége, ahol előfordul mindkét változórendszer
együttes alkalmazása.
Egy másik megjegyzés arra vonatkozik, hogy sok könyv, cikk, stb. a fenti karakterisztikus
3 2
egyenletnek –1-gyel megszorzott alakját használja ( 1 2 3 0
λ − I′ λ + I′ λ − I′
= ). Ennek a végeredmény
szempontjából természetesen nincs jelentősége.