2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
X = R ϕ , Y = R + h
Eredeti állapot
A polárszög értéke és trigonometrikus függvénye a fentiek alapján:
X
ϕ = , innen:
R
X X
sin ϕ = sin , cos ϕ = cos .
R R
A megváltozott állapotot jellemző Euler-koordináták is számíthatók az ábra alapján:
x = R + h sin ϕ , y = R + h cos ϕ .
( ) ( )
A két koordinátarendszer elemeinek összekapcsolása:
X X
x = Y sin , y = Y cos .
R R
Egy tetszőleges pont eltolódásainak számítása 3 az előadáson tanultak alapján:
X x
u = x − X = Y sin − X , v = y − Y = Y cos − Y .
R R
Az eltolódások első deriváltjai:
∂u Y X ∂u
X
= cos − 1, = sin ,
∂X R R ∂Y
R
∂v Y X ∂v
X
= − sin , = cos −1.
∂X R R ∂Y
R
A Green-Lagrange-tenzor síkbeli esethez tartozó komponensei a behelyettesítés után:
( ) 2
2 2 2
∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂v
⎞ ⎤ 1 ⎛ R + h ⎞ h 1 ⎛ h ⎞
EXX
= + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = ⎜ − 1+
⎟ = +
2
⎜ ⎟
∂X 2 ⎢ X X 2 ⎜ R ⎟
⎣⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ ⎥⎦
R 2 R
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
∂v 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂v ⎞ ⎤
1 ⎛ ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v
⎞
EY Y = + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = 0, EX
Y = ⎜ + + + ⎟ = 0.
∂Y 2 ⎢⎣ ⎝ ∂Y ⎠ ⎝ ∂Y ⎠ ⎥⎦
2 ⎝ ∂Y ∂X ∂X ∂Y ∂X ∂Y
⎠
E alakváltozás-komponens különbözik zérustól.
A számítás azt mutatja, hogy kizárólag az X X
Ennek értéke konstans a hossz mentén, zérus a középfelületen, továbbá nagysága egy adott
pont esetében alapvetően a középfelülettől mért távolságtól függ.
Megjegyezzük, hogy ennél a feladatnál az az érdekes helyzet fordult elő, hogy az eredményül
kapott alakváltozás viszonylag nem túl nagy, hiszen a vastagság lényegesen kisebb, mint a
sugár, de a számítás során kapott egyes komponensek viszont külön-külön igen jelentősek is
3 Jelen esetben w = 0, hiszen síkbeli feladatot vizsgálunk.
5
Megváltozott állapot