2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
⎡1,01⎤ r ab = ⎢
0,02
⎥
⎣ ⎦
⇒ r ab =
2 2
1,01 + 0,02 = 1,010198,
⎡0,03⎤ r ac = ⎢
1,04
⎥
⎣ ⎦
⇒ r ac =
2 2
0,03 + 1,04 = 1,0404326,
⎡1,04 ⎤
r ad = ⎢
1,06
⎥
⎣ ⎦
⇒ r a d =
2 2
1,04 + 1,06 = 1,4849916,
⎡ 0,00 ⎤
r e f = ⎢
1,039406
⎥
⎣− ⎦
⇒ r e f =
2 2
0,0 + ( − 1,039406) = 1,039406,
⎡0,029703⎤ r E F = ⎢
1,0
⎥
⎣ − ⎦
⇒ r E F =
2 2
0,029703 + ( − 1,0) = 1,000441.
Számítsuk ki a cab pontok által meghatározott szöget is:
cos ϕ c ab =
r ab ⋅r ac
r r
1,01 ⋅ 0,03 + 0,02 ⋅1,04
�
= = 0,048618375 ⇒ ϕ cab = 87, 213274 .
1,010198 ⋅1,0404326
ab ac
Mivel a kezdeti és pillanatnyi állapotok közötti összefüggéseket lineáris kapcsolati
egyenletekkel adtuk meg, a vektorok segítségével kapott eredményeink pontosak.
b./ Folytassuk most a számítást a Lagrange-bázis felhasználásával, a GL-tenzor
kiszámításával! Ehhez először az eltolódásfüggvények meghatározására lesz szükségünk:
u = x − X , v = y − Y, w = z − Z,
így :
u( X , Y, Z) = (1+ 1,01 X + 0,03 Y ) − X = 1+ 0,01X + 0,03 Y,
v = ( X , Y, Z) = (2 + 0,02 X + 1,04 Y ) − Y = 2 + 0,02 X + 0,04 Y,
w = ( X , Y, Z) = Z − Z = 0.
Most már számíthatók a GL-tenzorhoz szükséges deriváltak. Először külön megadjuk a
lineáris tagokat, hiszen ezek segítségével a kis alakváltozásokhoz szükséges tenzor már
felépíthető:
∂u = 0,01,
∂X ∂u = 0,03,
∂Y ∂v = 0,02,
∂X ∂v
= 0,04 ⇒
∂Y
⇒ ε x x = 0,01, ε y y = 0,04,
1
ε x y = ( 0,03 + 0,02) = 0,025.
2
A nagy alakváltozásokat jellemző GL-tenzor elemei:
1 2 2 2 1 2 2 2
EX X = 0,01 + ( 0,01 + 0,02 + 0 ) = 0,01025, EY
Y = 0,04 + ( 0,03 + 0,04 + 0 ) = 0,04125,
2 2
1
EX
Y = ( 0,03 + 0,02 + 0,01⋅ 0,03 + 0,02 ⋅ 0,04 + 0⋅ 0) = 0,02555.
2
A GL-tenzor segítségével – a korábbi példákban már alkalmazott módszerrel azonos módon
számíthatók egyes oldalélek megnyúlásai. Ilyenkor mindig az 1D fizikai alakváltozásokra
alkalmazott összefüggésekkel dolgozunk, így például X irányban:
fiz.
l − L r ab − r AB
ε X = 1+ 2EX X − 1 = = .
L r
20
AB