2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
A példához tartozó utolsó ábra egy vízszintes kezdeti állapotú rúdelem állapotváltozását
mutatja:
Befejezésül még megjegyezzük, hogy a B csomópontnál végrehajtott egyensúlyi vizsgálatból
egyszerű és érdekes következtetés vonható le a szerkezet függőleges merevségének
vizsgálatára. Jelöljük például a vetületi egyenletben szereplő két tag különbségét az alábbi
módon R(x)-szel:
x
R( x) = N ( x) − F .
Ez a változó zérus értékű az egyensúly teljesülése esetén, változása pedig a rendszer
függőleges irányú ellenállását, merevségét jelzi. Ha F állandó, akkor:
x
dR dN d ⎛ σVx ⎞ ⎛ ax dσ 2σax
⎞ dl σa
K = = = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ − 2 ⎟ + =
dx dx dx ⎝ l ⎠ ⎝ l dl l ⎠ dx l
2
⎛ dσ 2σ
⎞ x σa
a ⎜ ⎟ 2
dl l l l
=
⎝
−
⎠
+ .
A képlethez még szükséges dσ / dl deriváltat az egyes alakváltozások segítségével lehet
felírni. Jelen esetben:
2 vagy
⎛ dσ ⎞
⎜ ⎟
⎝ dl ⎠GL El
=
L
⎛ dσ ⎞
⎜ ⎟
⎝ dl ⎠Log
E
= ,
l
így a kétféle merevség:
2 2
A ⎛ L ⎞ x σa KGL = ⎜ E − 2σ 2 ⎟ + 2
L ⎝ l ⎠ l l
vagy
2
a x σa
K Log = ( E − 2σ
) + .
2
l l l
Sok hasonló elem fedezhető fel a képletekben, de (ahogy azt az előző ábrákon is láthattuk)
értékük a különböző alakváltozás-modellek miatt nem azonos, csupán a kezdeti X
konfigurációhoz nagyon közeli x esetén (ahol a ≈ A, l ≈ L ) mondhatjuk, hogy KGL ≈ KLog
.
1.2. Bizonyítsuk be, hogy 1D esetben a térfogatváltozásra jellemző J determináns
kifejezhető a λ nyúlási- és a ν Poisson-tényező segítségével!
A rúd keresztmetszete az egyszerűség kedvéért legyen kör. Egy tetszőleges pillanatnyi
állapot adatai:
2
sugár: r, hossz: l, keresztmetszet: a = r π, térfogat: v = al .
A változásokat növekményi szinten vizsgálva:
3
Logaritmikus