2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
térben rendre ⎡
⎢1/ ⎣
3 1/ 3 1/ 3⎤
⎥ értékűek. Az oktaéderes nyúlás ennek megfelelően (az
⎦
ε = ε n n összefüggés segítségével):
n i j i j
1
I ′ 1
εo = ( ε1 + ε2 + ε3)
= = 0 .
3 3
Az ehhez a síkhoz tartozó szögtorzulást térbeli Pithagorász-tétellel számíthatjuk.
γ
Felhasználva a ϑ = tenzori nyírási alakváltozás-jelölést:
2
( ) ( ) 2
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
2
ϑn =
2 2 2 2 2 2
ε n + ε n + ε n
2 2 2
− ε n + ε n + ε n ,
és behelyettesítve az előbb megadott normálisok komponenseit, a következőt kapjuk a
γ = 2ϑ
kapcsolat figyelembevételével 9 :
okt. okt.
2
2 2 2
1/ 2
γokt. = ⎡( ε1 − ε2) + ( ε2 − ε3) + ( ε3 −ε1
) ⎤
3
⎢⎣ ⎥ .
⎦
Behelyettesítve a numerikus értékeket (mivel az invariánsok már rendelkezésre állnak, az ő
képletüket használjuk, lévén ez a legtömörebb):
2 2 −6
γokt.
= ( 0− 3( −3,62 ⋅ 10 ) ) = 0,00311.
3
Ezeket a változókat főleg a képlékenységtani számításokban használják.
6.3. Határozzuk meg egy adott (kis változásokhoz tartozó) alakváltozás-tenzor deviátoros
részét, valamint a deviátoros invariánsokat!
⎡−0,005 ⎢
Az alakváltozás- tenzor: ε = ⎢−0,004 ⎢
⎣ 0
−0,004
0,001
0
0 ⎤
⎥
0 ⎥ .
⎥
0,001⎥
⎦
A deviátoros rész számításának képlete 10 :
εk
k
ei j = εi j − δi j ,
3
Ennek figyelembevételével:
ahol εk k = ε11 + ε22 + ε33
= − 0,003 .
⎡−0,004 ⎢
ei
j = ⎢−0,004 ⎢
⎣ 0
−0,004
0,002
0
0 ⎤
⎥
0 ⎥ .
⎥
0,002⎥
⎦
Ez a tenzor szintén a képlékenységtani számításokban lesz nagyon fontos mechanikai
jellemző. A deviátoros tenzor első invariánsa a tenzor sajátos felépítése miatt mindig zérus.
A második és harmadik invariáns 11 :
9 Megjegyezzük, hogy ez az érték kifejezhető az alakváltozási invariánsok, illetve az eredeti
alakváltozás-tenzor elemeinek segítségével is:
1/ 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
γokt. = ( I ′ 1 − 3I ′ 2)
=
⎡
( εx εy ) ( εy εz ) ( εz εx ) 6(
εx y εy z ε
⎤
⎢ − + − + − + + + z x ) ⎥ .
3 3 ⎣ ⎦
10
Sajnos a deviátoros alakváltozás-tenzor mechanikában használatos szimbóluma megegyezik az
AH-tenzor jelével, ezért mindig ügyelnünk kell tartalmuk pontos magyarázatára.
24