2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
−1
R = R és U = R F, U = U
T T T
összefüggéseket, akkor felírható az alábbi feltételi egyenlet:
U12 = R11F12 + R21F22 = R12 F11 + R22F21 = U 21 .
Innen az ismeretlen szög meghatározható:
F12 − F21
�
tgθ
= ⇒ θ = −31,0
F + F
11 22
5.3. Bontsunk fel egy gradiens-tenzor szorzat alakban deviátoros és gömbi részre úgy,
hogy alkalmazható legyen rugalmasan összenyomhatatlan anyagok vizsgálatára!
A számítás során a harmadik előadás 3.12-es összefüggését fogjuk használni:
d
g
15
1 1
3 3
d .
F Fg
F , ⋅ = ahol F J I , F J F
−
= =
Legyen például a gradiens-tenzor az alábbi:
⎡3 −1
0⎤
F =
⎢
2 2 0
⎥
⎢ ⎥
.
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
A tenzor determinánsa:
J = F = 8 .
Ennek megfelelően a két komponens:
⎡2 0 0⎤ ⎡1,5 −0,5
0 ⎤
1/3 −1/3
J = 2, J = 0,5, F =
⎢
0 2 0
⎥
, F
⎢
1 1 0
⎥
g ⎢ ⎥
=
dev ⎢ ⎥
.
⎢⎣ 0 0 2⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0,5⎥⎦
Ellenőrizhető, hogy a két tenzor szorzata megadja az eredeti gradiens-tenzort, továbbá a
deviátoros rész determinánsa egységnyi ( 1
dev )
F = .
Rugalmasan összenyomhatatlan anyagoknál a deviátoros részt szokás felhasználni a
módosított alakváltozási vagy nyúlási tenzorok számítására, így például a módosított jobb
Cauchy-tenzor ilyen esetben:
ˆ T −2/3 T −2/3
C = F F = J F F = J C .
dev dev
5.4. Határozzuk meg az 5.1-es példában szereplő AG szakasz hosszváltozását!
Számítsuk ki először a két pontot összekötő egyeneshez tartozó vektorokat:
T
AG
[ ] 2 2 2
r = 50 100 70 , r = 50 + 100 + 70 = 131,91 cm .
Az irány egységvektora:
n = 0,37905 0,75810 0,53067 .
T
AG
[ ]
Egy adott irányhoz tartozó GL-alakváltozást az X,Y,Z bázisban megadott GL-tenzor
transzformálásával tudjuk meghatározni. Most nem kell az egész tenzort transzformálnunk,
elegendő csak az AG szakasz irányának megfelelő „metszetet” előállítanunk: