2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

More documents

Recommendations

Info

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét AG T AG AG E = n En = ⎡−3,72000 −2,57801 −3,89094⎤ ⎡0,37095⎤ −3 = [ 0,37905 0,75810 0,53067 ⎢ ] 2,57801 8,04615 1,01118 ⎥ ⎢ 0,75810 ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎢ ⎥ 10 = ⎢⎣ −3,89094 −1,01118 4,67385 ⎥⎦ ⎢⎣ 0,53067⎥⎦ −3 = 1,54541⋅ 10 Ennek az értéknek a segítségével az 1D vizsgálatoknál szokásos alakváltozás is kiszámítható (lásd a második hét gyakorlatának 2.1-es példáját): ag − AG −3 −3 ε AG = = 1+ 2EAG − 1 = 1+ 21,54541⋅ 10 − 1 = 1,54422 ⋅ 10 . AG Az új átló értéke ennek segítségével: −3 ag = AG ⋅ 1+ ε = 131,91 1+ 1,54422 ⋅ 10 = 132,11 cm . ( AG ) ( ) 5.5. Határozzuk meg az ábrán látható sík alakváltozási állapothoz tartozó alakváltozásjellemzőket (elforgatott rendszerhez tartozó értékek, főnyúlások)! Az ábrán látható alakváltozás-komponensek most kis alakváltozásokat jelentenek. Számítsuk ki első lépésként az x-y rendszerhez képest 35 fokkal elforgatott új x′ − y′ bázisban az alakváltozásokat (lásd a következő ábrát)! 16
Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét Kétdimenziós esetben az általános transzformáló összefüggések egyszerű skalár kifejezésekkel is megadhatók, a gyakorlatban többnyire ezeket használják. Ilyenkor trigonometriai átalakításokkal a kétszeres szögeket használják: 1 1 ε ′ x x = ( ε x x + ε yy ) + ( εx x − ε yy ) cos 2ϑ + εx y sin 2 ϑ, 2 2 1 1 ε ′ y y = ( ε x x + ε yy ) − ( εx x − ε yy ) cos 2ϑ − εx y sin 2 ϑ, 2 2 1 ε ′ x y = − ( εx x − ε yy ) sin 2ϑ + εx y cos 2 ϑ. 2 Behelyettesítve a megadott értékeket: −3 ⎧1 1 � � ⎫ −3 ε ′ x x = 10 ⎨ ( − 0,75 + 0,5) + ( −0,75 − 0,5) cos70 − 0, 4sin 70 ⎬ = −0,7146 ⋅10 , ⎩2 2 ⎭ −3 ⎧1 1 � � ⎫ −3 ε ′ y y = 10 ⎨ ( − 0,75 + 0,5) − ( −0,75 − 0,5) cos 70 + 0,4sin 70 ⎬ = 0, 4646⋅10 , ⎩2 2 ⎭ −3 ⎧ 1 � � ⎫ −3 ε ′ x y = 10 ⎨− ( −0,75 − 0,5) sin 70 − 0,4cos70 ⎬ = 0,4505 ⋅10 . ⎩ 2 ⎭ A transzformáció helyessége a két különböző rendszerben számított alakváltozási invariánsok összehasonlításával ellenőrizhető: I′ ( ε ) = ε + ε = − 0,00075 + 0,0005 = −0,00025, 1 x x y y I′ ( ε ′ ) = ε ′ + ε ′ = − 0,0007146 + 0,0004646 = −0,00025, 1 x x y y ε ε −0,00075 −0,0004 I′ ε = = = − ⋅ x x x y −7 2( ) 5,35 10 , ε y x ε y y −0,0004 0,0005 I′ ′ ε′ ε′ −0,0007146 0,0004505 x x x y −7 2( ε ) = = = − 5,35 ⋅10 , ε′ y x ε′ y y 0,0004505 0,0004646 A harmadik invariáns sík feladatok esetében mindig zérus. Határozzuk meg ezek után a főnyúlások értékeit. Kétdimenziós esetben a sajátértékfeladat karakterisztikus egyenlete másodfokú, így az ismert megoldóképlet segítségével számíthatók a főnyúlások. A helyes indexszelésnél mindig figyelembe kell vennünk, hogy most az eredeti másodrendű alakváltozás-mátrix egy sora és egy oszlopa zérus, így minden esetben van egy darab zérusértékű főnyúlás. Ennek indexét a sík feladatnál kapott eredmények előjelének figyelembevételével kell megadni. A sík alakváltozási állapotnál alkalmazott megoldóképlet: ε x x + ε y y ε 1,3 = ± 2 2 ⎛ εx x − ε y y ⎞ ⎧ 2 −3 ⎪− 0,75 + 0,5 ⎜ ⎟ + εx y ⇒ε 1,3 = 10 ⎨ ± ⎝ 2 ⎠ ⎪ 2 ⎩ 2 ⎛ −0,75 − 0,5 ⎞ ⎫ 2 ⎪ ⎜ ⎟ + ( −0, 4) ⎬ ⎝ 2 ⎠ ⎪⎭ A zérus érték figyelembevételével a főnyúlások: −3 ε 1 = 0,617 ⋅10 , ε 2 = 0, −3 ε 3 = −0,867 ⋅ 10 . Ebben az esetben a fő-szögtorzulások értéke mindig zérus. Az invariánsokat újból felhasználhatjuk ellenőrzésre: I′ ( ε ) = ε + ε + ε = 0,000617 + 0 − 0,000867 = −0,00025, 1 i 1 2 3 17 ( ) I′ ε = ε ε + ε ε + ε ε = ⋅ − = − ⋅ −7 2( i ) 1 3 1 2 2 3 0,000617 0,000867 5,35 10 .
Page 1 and 2: Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorl
Page 15: Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorl
Page 25: Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorl

2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?