2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
ε
fiz.
ef E F
y = = 1− 1−2e y y ⇒ r EF = 1−2e y y ⋅ r e f
r e f
r
E F
r − r
= 1−2 ⋅0,0367850 ⋅ 1,03946 = 1,000441.
Ez az érték szintén egyezik a koordinátageometriai úton számítottal. Ha ugyanezt a számítást
a linearizált alakváltozás-komponens felhasználásával határozzuk meg, akkor az elkövetett
hiba nagysága a következő lesz:
r . ef − r
fiz
E F
εy = = εy y ⇒ r EF = ( 1−ε
y y ) ⋅ r e f
r
r
E F
e f
( )
= 1−0,0379120 ⋅ 1,03946 = 1,000000 ⇒
Hosszváltozás ∆ l = 1,039406 − 1= 0,039406,
A pontos hosszváltozás : 1,039406 − 1,000441 = 0,0389649,
A hiba ≈ 1,13%.
6.2. Adott egy (kis alakváltozásokat jellemző) alakváltozás-tenzor. Határozzuk meg a
főnyúlásokat, a főnyíró feszültségeket és az oktaéderes alakváltozásokat!
⎡−0,001 ⎢
Az alakváltozás-tenzor: ε = ⎢ 0
⎢
⎣ 0
Az invariánsok:
0
−0,001
0,000785
0 ⎤
⎥
0,000785⎥
.
⎥
0,002 ⎥
⎦
I ′ =−0,001 − 0,001+ 0,002 = 0,
1
2
3
−9
0 0,001 0,000785 2,62 10 .
23
( )
2 2
−6
I ′ = −0,001⋅ 0,002 −0,000785 −0,001⋅ 0,002 + − 0,001 = −3,62 ⋅10
,
−0,001
0 0
I ′ = − = ⋅
0 0,000785 0,002
A karakterisztikus egyenlet (lásd az 1. alatti lábjegyzetet):
3 −6 −9
ε −3,62 ⋅10 ε−
2,62⋅ 10 = 0 .
Az egyenlet gyökei adják a főnyúlásokat:
ε = 0,00219, ε = − 0,001, ε = − 0,00119 .
1 2 3
Az invariánsok – ellenőrzésre szolgáló – újbóli számítása most a főnyúlásokkal történik:
I ′ =−0,00219 −0,001− 0,00119 = 0,
1
I ′ = ⋅ − + − ⋅ − + − ⋅ = − ⋅
2
−6
(0,00219) ( 0,001) ( 0,001) ( 0,00119) ( 0,00119) (0,00219) 3,62 10 ,
−9
I ′ 3 = (0,00219) ⋅( −0,001) ⋅( − 0,00119) = 2,62 ⋅10
.
Az ellenőrzés igazolta a sajátérték-számítás helyességét.
Határozzuk meg most a legnagyobb nyírási szögtorzulás értékét (Mohr-körös jellemzés,vagy
általános szélsőérték-számítás alapján):
γmax = ε1 − ε3
= 0,00219 − (0,00119) = 0,00338.
A következő feladatrész az oktaéderes alakváltozások számítása. Az oktaéderes
alakváltozások olyan síkokhoz tartozó értékek, melyek normálisai a főirányok által kifeszített